Efeito Doppler para a luz

Existe um efeito Doppler para o som: se estivermos dirigindo em direção a um carro de polícia com buzina, a frequência parece mais alta (som agudo) e se estivermos nos afastando, parece mais baixa (som grave). O mesmo tipo de constatação vale se estivermos parados e o carro de polícia em movimento ou ainda se os dois estiverem em movimento. A variação da frequência é diferente se é a fonte ou o observador que está se movimentando. Precisamente (ver Halliday, Resnick e Walker cap.18):

Nestas fórmulas, o sinal de cima corresponde à uma aproximação fonte-detector (observador) e o sinal de baixo à um afastamento.

Existe também efeito Doppler para a luz. Por exemplo, isto é usado pelos radares nas estradas: microondas são emitidas por uma fonte e refletida pelo carro em movimento. A diferença entre a frequência de emissão e reflexão fornece a velocidade do carro.

Nas fórmulas anteriores, em repouso, significa em relação ao meio de propagação (por exemplo o ar). Como a luz não precisa de um meio para se propagar, não estranharemos encontrar outra forma para seu efeito Doppler. Além disso esperamos ter uma só fórmula para fonte ou detector em movimento.

Vamos supor a fonte F em movimento e o observador e detector O em repouso: (A dedução a seguir pode ser encontrada em J. H. Smith ``Introduction to Special Relativity'').

Image fig3

No referencial do detector, seja:

Então o tempo entre a recepção destes sinais em O é:

\begin{displaymath}
\Delta t_{D}=\Delta t_{F}+\frac{r_{2}}{c}-\frac{r_{1}}{c}\end{displaymath}

Se a fonte estiver longe do detector, $r_{1}-r_{2}\approx S_{1}S_{2}cos\theta$. Sabemos também que $S_{1}S_{2}=v_{F}\Delta t_{F}$, de modo que podemos reescrever:

\begin{displaymath}
\Delta t_{D}=\Delta t_{F}\left(1-\frac{v_{F}cos\theta}{c}\right)         (*)\end{displaymath}

Classicamente, $\Delta t_{D}=f_{D}^{-1}$ e $\Delta t_{F}=f_{F}^{-1}$ de modo que:

\begin{displaymath}
f_{D}=\frac{f_{F}}{1-v_{F}cos\theta/c}\;\;\;(\textrm{clássico})\end{displaymath}

Isto é a fórmula clássica do efeito Doppler para a luz com fonte em repouso e $\theta$ qualquer.

Notemos que se $\theta=0^{o}$ (aproximação) e $\theta=180^{o}$ (afastamento) teremos os casos particulares

\begin{displaymath}
f_{D}=\frac{f_{F}}{1\mp v_{F}/c}\end{displaymath}

que é similar à fórmula do efeito Doppler do som com o detector em repouso.

Se refizermos as contas com o detector em movimento e a fonte parada, para $\theta=180^{o}$ ou $\theta=0^{o}$, encontraremos a fórmula clássica do efeito Doppler para a luz com fonte em repouso, similar á do som.

Em ambos os casos, se $\theta=\pm90^{o}$, $f_{\textrm{D}}=f_{\textrm{F}}$.

Relativisticamente, no referencial de repouso do detector o período é $\Delta t_{D}=f_{D}^{-1}$, mas $f_{F}^{-1}$ é o valor do período no referencial de repouso da fonte, ou seja, é um tempo próprio. No referencial de repouso do detector, este período será dilatado:

\begin{displaymath}
\Delta t_{F}=\left(1-v_{F}^{2}/c^{2}\right)^{-1/2}f_{F}^{-1}\end{displaymath}

Portanto a expressão (*) para $\Delta t_{D}$ poderá ser reescrita como:

\begin{displaymath}
\Delta t_{D}=f_{D}^{-1}=\left(1-v_{F}^{2}/c^{2}\right)^{-1/2}f_{F}^{-1}\left(1-v_{F}cos\theta/c\right)\end{displaymath}

ou, de forma equivalente


\begin{displaymath}
f_{D}=\frac{\sqrt{1-v_{F}^{2}/c^{2}}}{1-v_{F}cos\theta/c}f_{F}    (\textrm{relativístico})\end{displaymath}

onde $\vec{v}_{F}$ é a velocidade da fonte em relação ao detector e $\theta$ é o ângulo entre $\vec{v}_{F}$ e a direção de detecção.

A expressão acima é a fórmula do efeito Doppler (relativístico) para a luz. Ela vale também (pelo $1^{0}$ princípio) quando a fonte está em repouso e o detector em movimento, para tanto fazemos as substituições:

Observações:

  1. Na dedução da fórmula do efeito Doppler relativístico, usamos como ingrediente crucial a dilatação do tempo.
  2. Temos alguns casos particulares interessantes:
    $\odot$ fonte se aproximando $\Rightarrow\theta=0^{o}$ , $f_{\textrm{D}}=f_{\textrm{F}}\sqrt{\frac{1+v/c}{1-v/c}}\geq f_{\textrm{F}}$ (``blue shift''), isto é, mudança para frequências maiores, como esperado.
    $\odot$ fonte se afastando $\Rightarrow\theta=180^{o}$ , $f_{\textrm{D}}=f_{\textrm{F}}\sqrt{\frac{1-v/c}{1+v/c}}\leq f_{\textrm{F}}$ (``red shift''), isto é, mudança para frequências menores, como esperado.
    $\odot$ linha de mira ortogonal ao movimento da fonte $\Rightarrow\theta=\pm90^{o}$, $f_{D}=f_{F}\sqrt{1-v/c}\leq f_{F}$ . Este efeito é chamado de efeito Doppler transversal e puramente relativístico. Vemos que pela fórmula clássica acima, teríamos neste caso $f_{\textrm{D}}=f_{\textrm{F}}$. A existência do efeito Doppler transversal, característico da relatividade restrita, foi comprovada por várias experiências (Ives & Stilwell 1938 e 1941, Otting 1939, Kunding 1963, entre outros). Podemos ver que ele é conseqüência direta da dilatação do tempo.
  3. Se fizermos $v\ll c$ na fórmula do efeito Doppler relativístico, recuperamos as fórmulas do efeito Doppler clássico (desde que nessas também façamos $v\ll c$).
  4. Quando dirigimos na chuva, temos a impressão que a chuva cai obliquamente. Da mesma maneira, devido ao movimento da Terra ao redor do Sol, a luz que vem de uma estrela distante parece vir obliquamente. Esse efeito se chama aberração da luz. Da mesma maneira que para o efeito Doppler, pode se calcular uma expressão clássica e outra relativística, mas simétrica. (confira lista de exercícios)
Exemplo Importante:

Quando se observa o espectro da luz proveniente de uma galáxia distante onde é possível identificar linhas espectrais características e comparar com as mesmas linhas em um espectro terrestre, em geral, vê-se que a frequência se torna menor e se diz que houve um desvio para o vermelho. Isto é interpretado como uma evidência da expansão do universo (as galáxias se afastam uma das outras) e foi descoberto pelo astrônomo americano Hubble em 1929. Para fixar as idéias, consideremos o caso seguinte. O maior comprimento de onda emitido pelo átomo de hidrogênio na série de Balmer é $\lambda_{0}=656nm$. Na luz de uma galáxia distante, o comprimento de onda desta mesma linha espectral é $\lambda=1458nm$. Determine a velocidade com a qual a galáxia está se afastando da Terra.

Solução:

Lembramos que frequência e comprimento de onda são relacionados por $\lambda f=c$ (no vácuo). Como $\lambda>\lambda_{0}$ então $f<f_{0}$, portanto deveremos ter um afastamento da galáxia:

\begin{displaymath}
f=f_{0}\sqrt{\frac{1-v/c}{1+v/c}}\;\;\rightarrow\frac{f}{f_{0}}=\frac{\lambda_{0}}{\lambda}=\sqrt{\frac{1-v/c}{1+v/c}}\end{displaymath}

portanto

\begin{displaymath}
\frac{v}{c}=\frac{1-\left(\lambda_{0}/\lambda\right)^{2}}{1+\left(\lambda_{0}/\lambda\right)^{2}}=0,664\end{displaymath}

Observação: um interpretação correta do redshift da luz de fontes distantes deve incluir a gravitação, isto é, temos que usar a relatividade geral.

Ronaldo Carlotto Batista 2006-03-31