``Adição'' Relativística de velocidades

Na mecânica clássica, se um trem se movimenta com velocidade $\vec{v}$ em relação à plataforma e um passageiro se movimenta com velocidade $\vec{u'}$ em relação ao trem, a velocidade do passageiro em relação à plataforma é $\vec{u}=\vec{v}+\vec{u}'$. Isto pode ser derivado a partir das transformações de Galileu, como vimos na aula 1. Da mesma maneira usaremos as transformações de Lorentz para derivar a fórmula de ``adição'' relativística de velocidades. Chamemos $\vec{v}$ a velocidade de S' em relação a S e $\vec{u}$ a velocidade do passageiro em S . A velocidade $\vec{v}$ é paralela ao eixo $Ox$.

Image fig1

Queremos calcular $\vec{u}'$, a velocidade do passageiro em relação a S'. Usando as transformações de Lorentz temos:

\begin{eqnarray*}
dx' & = & \gamma\left(dx-vdt\right)\\
dy' & = & dy\\
dz' & = & dz\\
dt' & = & \gamma\left(dt-\frac{vdx}{c^{2}}\right)\end{eqnarray*}


e, portanto, para a componente $u'_{x}$ do vetor $\vec{u}'$, temos:

\begin{eqnarray*}
u'_{x} & = & \frac{dx'}{dt'}\\
& = & \frac{\gamma\left(dx-vd...
...ight)\left(dx/dt\right)}\\
& = & \frac{u_{x}-v}{1-vu_{x}/c^{2}}\end{eqnarray*}


e para $u'_{y}:$

\begin{eqnarray*}
u'_{y} & = & \frac{dy'}{dt'}\\
& = & \frac{dy}{\gamma\left(d...
...right)}\\
& = & \frac{u_{y}}{\gamma\left(1-vu_{x}/c^{2}\right)}\end{eqnarray*}


e, analogamente, para $u'_{z}$:

\begin{displaymath}
u'_{z}=\frac{u_{z}}{\gamma\left(1-vu_{x}/c^{2}\right)}\end{displaymath}

Esses resultados podem ser escritos como:

\begin{eqnarray*}
u'_{x} & = & \frac{u_{x}-v}{1-vu_{x}/c^{2}}\\
u'_{y} & = & \f...
...\\
u'_{z} & = & \frac{u_{z}\sqrt{1-v^{2}/c^{2}}}{1-vu_{x}/c^{2}}\end{eqnarray*}


Observemos que: $1^{o})$ a tranformação inversa para a velocidade é:

\begin{eqnarray*}
u{}_{x} & = & \frac{u'_{x}+v}{1+vu'_{x}/c^{2}}\\
u{}_{y} & = ...
...\
u_{z} & = & \frac{u'_{z}\sqrt{1-v^{2}/c^{2}}}{1+vu'_{x}/c^{2}}\end{eqnarray*}


$2^{o})$ O limite de baixas velocidades $v\ll c$ é, usando que

\begin{displaymath}
\left(1+z\right)^{\alpha}=1+\alpha z+\alpha\left(\alpha-1\right)\frac{z^{2}}{2}+\mathcal{O}\left(z^{3}\right)\;,\end{displaymath}

\begin{eqnarray*}
u'_{x} & = & \left(u_{x}-v\right)\left(1+\frac{vu_{x}}{c^{2}}\...
...}}{2c^{2}}\right)\left(1+\frac{vu_{x}}{c^{2}}\right)\approx u_{z}\end{eqnarray*}


ou seja, reencontramos a fórmula de adição de velocidades não-relativística.

$3^{o})$ Se o objeto ou pessoa com velocidade $\vec{v}$ for um pulso de luz e $\vec{u}\Vert Ox$ (verifique o caso $\vec{u}$ geral sozinho), temos $u_{x}=c$, $u_{y}=u_{z}=0$. Colocando isso nas fórmulas de adição de velocidades obtemos:

\begin{eqnarray*}
u'_{x} & = & \frac{c-v}{1-vc/c^{2}}=c\\
u'_{y} & = & u'_{z}=0\end{eqnarray*}


em acordo com o $2^{o}$ princípio da relatividade.

Exemplo:
Suponha que dois prótons se aproximam da Terra vindo de direções opostas. As velocidades dos prótons medidas no referencial da Terra são $v_{1}=0,6c$ e $v_{2}=-0,8c$. Qual é a velocidade relativa entre os prótons?
Solução: escolhemos os referenciais como indicados na figura abaixo.

Image fig2

Temos $v_{1}=v_{1x}=0,6c$, $v_{1y}=v_{1z}=0$, $v_{2}=v_{2x}=-0,8c$ e $v_{2y}=v_{2z}=0$, no referencial da Terra.

Classicamente, a velocidade do próton 2 em relação ao próton 1 é a velocidade do próton 2 em relação á terra, -0,8c, mais a velocidade da terra em relação ao próton 1, -0,6c, isto é, no total, -1,4c. Notamos que esta velocidade é em módulo maior que $c$ e que o sinal 'e negativo. Relativisticamente, esperamos uma velocidade em módulo menor do que $c$ e com mesmo sinal negativo.

Relativisticamente, para determinar a velocidade do próton 2 em relação ao próton 1, usamos as fórmulas de transformações de velocidade, usando para S' o referencial ligado ao próton 1 da esquerda. Daí a velocidade de S' em relação a S é $v=0,6c$. Usamos para o objeto de velocidade $\vec{u}$ em S o outro próton, 2. A velocidade $\vec{u}'$ deste próton em relação a S' é a velocidade dos prótons um em relação ao outro, que estamos procurando, e é dada pelas fórmulas de adição de velocidades:

\begin{eqnarray*}
u'_{x} & = & \frac{u_{x}-v}{1-u_{x}v/c^{2}}=\frac{-0,8c-0,6c}{...
...c\right)\left(-0,6c\right)/c^{2}}=-0,95c\\
u'_{y} & = & u'_{z}=0\end{eqnarray*}


Verificamos que a velocidade em módulo é menor do que $c$ e com sinal negativo.
Se deteminarmos a velocidade do próton 1 em relação ao próton 2 com a mesma técnica, acharemos $u''_{x}=0,95c$ e $u''_{y}=u''_{x}=0$, como esperado.

Ronaldo Carlotto Batista 2006-03-31