Decaimento de múons cósmicos

O exemplo anterior é muito citado nos livros de relatividade restrita, mas ele é um pouco complicado pois há vários efeitos a se levar em conta. Um exemplo ``mais limpo'' da dilatação do tempo está relacionado aos múons que se formam no alto da atmosfera a partir dos ráios cósmicos e vão em direção à superfície da Terra com alta velocidade. Se não fosse pela dilatação do tempo, deveríamos observá-los em menos número na superfície da Terra, pois seu tempo de vida é muito curto.

Uma experiência envolvendo tais múons será vista em aula no vídeo 33 ``A dilatação do tempo''. Pode-se também ler o relato dos seu autores, Frisch e Smith, em American Journal of Physics 31 (1963) p.342.O livro de French "Special Relativity" p.97 a 104 também discute este filme.

1. Múons são detectados no topo do Mont Washington. Eles podem ter várias energias, alguns são tão lentos (velocidade média 0,9952c) que estão parados num cintilador de plástico. São estes múons que são observados. Os múons decaem, de modo preferencial, em um elétron e dois neutrinos. O múon e o elétron ao passar pelo cintilador, emitem luz, detectada por uma foto-multiplicadora, que ativa um osciloscópio. Queremos saber o número desses múons detectados e seus tempos de vida.

Figure: Detecção do múon registrada pelo osciloscópio

a) Na figura, a marca da esquerda é de um múon e a da direita do seu elétron de decaimento. Sabendo que uma divisão horizontal grande do osciloscópio corresponde a $1 \mu s$, qual é o tempo de vida do múon em questão?
b) Como o tempo de vida altera-se de múon para múon, precisamos acumular muitos dados para extrair um tempo de vida médio. Tais dados são apresentados nas duas figuras seguintes. Para entender o que é tempo de vida médio, vamos usar a figura que nos fornece o número de múons em função do tempo, $N(t)$, e que é extraida da outra. Vemos os dados com barra de erro e uma curva pontilhada para os ajustes. Esta curva é do tipo $N(t)= N_{0}e^{-t/ \tau}$ (típico para decaimentos).

Figure: Curva de decaimento

Assim vemos que $N(t=0)=N_{0}$. Qual é então o valor de $N_{0}$? O que representa isto fisicamente? Vemos também que $N( \tau)=N_{0}/e \sim N_{0}/2,7$. De modo que $\tau$ é o tempo após o qual o número inicial de múons decresceu de 2,7 devido aos decaimentos. É este $\tau$ que é chamado de tempo de vida médio. Qual é então o valor de $\tau$?

Figure: Gráfico dos múons detectados

2. A experiência é refeita, a altitude menor, em Cambridge. A diferença de altitude em relação ao Mont Washington é de 1907m.
a) Calcular o tempo de viagem $t_{viagem}$ que os múons levam para percorer estes 1907m. Usando uma das últimas figuras, conclua quantos muons devem ser detectados em Cambridge (conta clássica).
b) Experimentalmente, foram encontrados muito mais múons:412. Isto pode ser entendido usando a dilatação do tempo. Na fórmula $N(t)=N_{0}e^{-t/\tau}\;$, $\tau$ é o tempo de decaimento de um múon em repouso. Assim, devemos usar para $t$, o tempo no referencial de repouso do múon deste múon. O tempo de viagem, $t_{viagem}\;$, foi calculado no referencial terrestre. No referencial de repouso do múon este tempo, $t_{v}$, é menor. Calcular $t_{v}=t_{viagem}/\gamma$ e $N(t_{v})=N_{0}e^{-t_{v}/\tau}$ e comparar com 412.
c) Na pergunta anterior, todos os tempos foram considerados no referencial de repouso do múon. Vamos refazer estas contas no referencial terrestre. Calcular $T$, o tempo de vida médio dos múons para este referencial e $N\left(t_{viagem}\right)=N_{0}e^{-t_{viagem}/T}$. Comparar com ítem 2b) e tirar uma conclusão. Hoje em dia, este efeito de dilatação do tempo é muito usado em aceleradores de partículas: no referencial do acelerador, uma partícula vive mais tempo antes de decair, assim seu estudo fica mais fácil. Pode-se por exemplo ver a seguinte página:

www-ed.fnal.gov/data/physci/relativity/student/challbegin1.shtml

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Quando você calcula a distancia percorrida pela partícula com $d=v\times\tau$, como pedido na página, a conta é clássica. Experimente introduzir o valor de $d$ calculado com $d=v\times\gamma\tau$ (isto incorpora a dilatação do tempo). Você vera um melhor acordo com os dados e as simulações quando $v$ aproxima-se de $c$.