Paradoxo dos gêmeos

Homero e Ulisses são gêmeos idênticos. Ulisses viaja a alta velocidade até um planeta além do sistema solar e retorna, enquanto Homero fica na Terra. Quando os dois se reúnem, qual é o mais velho? Ou ambos tem a mesma idade?

A resposta certa é que Homero, o gêmeo mais sedentário, será mais velho. O problema é um paradoxo em virtude do papel, aparentemente simétrico jogado pelos gêmeos na questão, e do resultado assimétrico pertinente ao envelhecimento de um deles. O paradoxo se resolve quando se observa a assimetria dos papéis dos gêmeos. Precisamente, enquanto Homero permanece na Terra num único referencial inercial o movimento de Ulisses é acelerado: de zero à velocidade $\vec{v}$ no início, de $\vec{v}$ à $-\vec{v}$ na meia-volta e de $-\vec{v}$ à zero no fim.

Figure: O paradoxo dos gêmeos
\includegraphics[%
scale=0.9]{fig31.eps}

Para fixar as idéias, vamos supor $v=0,8c$ e a distância a percorrer medida por Homero é $L_{p}= 8$ anos-luz (1 ano-luz = distância percorrida pela luz em 1 ano = 1 ano $\times$ $c$).

Temos assim

\begin{eqnarray*}
\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}=\frac{5}{3}\end{eqnarray*}


É fácil analisar o problema do ponto de vista de Homero, na Terra. De acordo com o relógio de Homero, Ulisses viaja na ida (ver figura acima) durante um intervalo de tempo $\frac{L_{p}}{v}= 10$ anos e na volta durante um intervalo de tempo igual. Então Homero é 20 anos mais velho, quando Ulisses retorna.

No referencial $S^{\prime}$, ligado ao foquete na ida, o intervalo de tempo entre o instante da partida de Ulisses da Terra e o instante de sua chegada no planeta P, é menor em virtude de ser o intervalo de tempo próprio.

O tempo que Ulisses leva para chegar ao planeta, pelo relógio dele é:

\begin{eqnarray*}
\Delta t^{\prime}=\frac{\Delta t}{\gamma}=\frac{10 \textrm{anos}}{5/3}= 6 \textrm{anos}
\end{eqnarray*}


Uma vez que o tempo da viagem de retorno é o mesmo, Ulisses terá registrado 12 anos para a viagem de ida e volta e será 8 anos mais jovem que Homero ao chegar a Terra.

O caso dos gêmeos descrito acima não é muito realista pela velocidade envolvida. O caso que será descrito agora é parecido ao dos gêmeos mas é uma experiência real.

Ronaldo Carlotto Batista 2006-03-10