Relacionando mecânica clássica, relatividade restrita e relatividade geral

O caráter relativista das leis da física começaram a ser reconhecidos muito cedo na história da física clássica. Antes de Galileu e Newton, Copérnico já havia mostrado que o cálculo do movimento dos planetas se tornavam muito mais simples e precisos se o antigo modelo aristoteliano, baseado na idéia de que a terra é o centro do universo, fosse substituido por um modelo no qual os planetas se moviam em torno do sol, e não da terra. Assim, as leis do movimento descobertas na terra seriam as mesmas qualquer que fosse o ponto tomado como centro.

Uma questão importante a respeito destas leis de movimento é: quais são os referenciais onde elas valem? As três leis de Newton que descrevem o movimento em sistemas mecânicos só se aplicam a referenciais inerciais. Estas 3 leis de Newton conservam a mesma forma em todos os referenciais inerciais (princípio da relatividade de Newton) de modo que não só não importa a origem do referencial, mas também sua velocidade não é importante (desde que seja constante). Por razões que estudamos na aula 1, Einstein construiu sua teoria da relatividade restrita baseada em 2 princípios. O primeiro princípio é um princípio de relatividade mais abrangente do que o de Newton: as leis da física (e não só da mecânica) são as mesmas em todos os referenciais inerciais. O segundo princípio, da constânca da velocidade da luz em todos os referenciais inerciais às vezes é considerado como uma consequência do primeiro. A física clássica pode ser reencontrada como um limite da relatividade restrita para baixas velocidades.

A relatividade geral, por sua vez, se baseia no que podemos chamar de o terceiro princípio de Einstein, ou o princípio da equivalência: as leis da física são as mesmas num campo gravitacional uniforme ou num referencial uniformemente acelerado.

Este princípio é uma extensão da idéia clássica que devido à igualdade entre massa gravitacional e inercial, as leis da mecânica são as mesmas na presença de um campo gravitacional uniforme ou num referencial uniformemente acelerado. Em particular, referenciais em queda livre são equivalentes a referenciais de aceleração nula, ou seja, eles são referenciais inerciais e se aplica neles a relatividade restrita. Bom, mas então para que serve a relatividade geral? A razão é a seguinte, perto de, por exemplo, uma massa esférica, existe muitos referenciais inerciais, cada um com seu valor de $\vec{g}$. Sabemos fazer as contas para observadores dentro de referenciais inerciais, cada um em queda livre num $\vec{g}$ diferente. Mas como isto aparece para um observador externo? Como ``costurar'' as soluções obtidas em cada um destes referenciais para dar uma visão em grande escala? Isto é o papel da relatividade geral. A mecânica clássica pode ser reencontrada como um limite da relatividade geral para campos gravitacionais fracos e velocidades pequenas.

Finalmente, para concluir, precisamos entender o que significa dizer que ``as leis da física são as mesmas''. A mecânica clássica, por causa de sua simplicidade, é um pouco enganadora. Se a aceleração de uma particula é $\vec{a}$ num referencial inercial S e $\vec{a}'$ em outro referencial inercial S', podemos usar as transformações de Galileu para calcular $\vec{a}'$ em função de quantidades conhecidas em S. Obtemos simplesmente que $\vec{a}'=\vec{a}$. Daí a força sobre a partícula é exatamente a mesma em S e S': $\vec{F}=m\vec{a}=\vec{F}'=m\vec{a}'$. Na relatividade restrita é um pouco mais complicado. Vimos que para passar de um referencial inercial para outro podemos usar as transformações de Lorentz. Assim podemos calcular $\left(t',x',y',z'\right)$ como funcão de $\left(t,x,y,z\right)$ ou $\left(E'/c^{2},p'_{x},p'_{y},p'_{z}\right)$em função de $\left(E/c^{2},p{}_{x},p{}_{y},p{}_{z}\right)$:

$$\begin{eqnarray*} t'=\gamma\left(t-\frac{xv}{c^{2}}\right) & \; & \frac{E'}{c^{2... ...right)\\ y'=y & \; & p'_{y}=p_{y}\\ z'=z & \; & p'_{z}=p_{z}\;.\end{eqnarray*}$$

As quantidades $\left(t,x,y,z\right)$ e $\left(E/c^{2},p{}_{x},p{}_{y},p{}_{z}\right)$ são os componentes do que se chama de ``quadrivetor''. Um quadrivetor se transforma assim passando de S a S':

$$\begin{eqnarray*} A'_{t} & = & \gamma\left(A_{t}-v\frac{A_{x}}{c^{2}}\right)\\ ... ...\;\;\;\;\;\;\;\;\;(2)\\ A'_{y} & = & A_{y}\\ A'_{z} & = & A_{z}\end{eqnarray*}$$

Bom, mas existem quantidades que se transformam de maneira muito feia, por exemplo a velocidade e a força:

$$\begin{eqnarray*} u'_{x}=\frac{u_{x}-v}{1-u_{x}v/c^{2}} & \; & F'_{x}=\frac{F_{x... ...}} & \; & F'_{z}=\frac{F_{z}\sqrt{1-v^{2}/c^{2}}}{1-u_{x}v/c^{2}}\end{eqnarray*}$$

ou, pior ainda:

$$\begin{eqnarray*} E'_{x}=E_{x} & \; & B'_{x}=B_{x}\\ E'_{y}=\frac{E_{y}-vB_{x}}... ...}}} & \; & B'_{z}=\frac{B_{z}-vE_{z}/c^{2}}{\sqrt{1-v^{2}/c^{2}}}\end{eqnarray*}$$

Podemos exibir um quadrivetor para a velocidade que não $u_{x}=dx/dt$, $u_{y}=dy/dt$ , $u_{z}=dz/dt$ mas sim

$$\begin{eqnarray*} \tilde{u}_{t} & = & dt/d\tau\;,\\ \tilde{u}_{x} & = & dx/d\ta... ...tilde{u}_{y} & = & dy/d\tau\;,\\ \tilde{u}_{z} & = & dz/d\tau\;,\end{eqnarray*}$$

com $\tau=\sqrt{t^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}}$. Essas quantidades se transformam da mesma maneira que $\left(t,x,y,z\right)$e $\left(E/c^{2},p{}_{x},p{}_{y},p{}_{z}\right)$ e permitem recuperar a velocidade usual, por exemplo, $u_{x}=\tilde{u}_{x}/\tilde{u}_{t}$, etc. Pode-se introduzir também um quadri-vetor força $\tilde{F}_{x}=dp_{x}/d\tau$ etc. E os campos $\vec{E}$ e $\vec{B}$ ? Eles devem ser agrupados num tensor:

$$F^{\mu\nu}=\left(\begin{array}{cccc} 0 & E_{x}/c^{2} & E_{y}... ...B_{x}\\ -E_{z}/c^{2} & B_{y} & -B_{x} & 0\end{array}\right)\;,$$

(onde os índices $\mu,\nu$ variam entre ($t,x,y,z$), sendo exemplo $F^{tt}=0$, $F^{tx}=E_{x}/c^{2}$, $F^{xt}=-E_{x}/c^{2}$ e assim por diante.)

Da mesma maneira que todos os quadrivetores se transformam de acordo com (2), existe uma maneira bem precisa de transformar tensores passar de um referencial inercial para outro.

Quadrivetores e tensores são também usados na relatividade geral, mas como o espaço é, em geral, curvo, eles se transformam de maneira muito mais complicada do que mostrado acima para a relatividade restrita. Agora, voltamos à nossa pergunta sobre o significado de ``as leis da física serem as mesmas''. Supomos que conhecemos a força atuando sobre um corpo, através de $\vec{F}=d\vec{p}/dt$, no referencial inercial S. Em outro referencial S' podemos calcular $\vec{F}'=d\vec{p}'/dt'$. Achamos $\vec{F}'\neq\vec{F}$ em geral. (Na verdade $\vec{F}'$ está ligada a $\vec{F}$ pelas equações (3)). Em outras palavras, dizer que a força é a variação do momento por unidade de tempo é uma lei (a segunda de Newton), mas o valor da força não é uma lei. Isso explica como resolver nosso quebra cabeça da primeira aula a respeito da força sobre uma carga devido a um fio carregado. (Na relatividade, não se espera $\vec{F}'=\vec{F}$ ao mudar de referencial inercial).