Algumas outras previsões da relatividade geral

Os testes sugeridos por Einstein (e outros testes subsequentes) não apontam problemas com a teoria da relatividade geral. Assim podemos tornar nossa atenção sobre previsões mais surpreendentes.

1. Buracos Negros.
   Um buraco negro é um objeto tão massivo que nem a luz consegue escapar da sua atração. O germe desta idéia se encontra nos trabalhos de Mitchell e Laplace no século XVIII. Pode-se raciocinar assim: supomos (erroneamente) que a energia cinética da luz é $mc^{2}/2$ e (também erroneamente) que a lei da gravitação de Newton se aplica para a luz perto de uma massa $M$. Queremos achar para a massa M, o raio $R_{e}$ tal que a velocidade de escape da luz seja mesmo $c$. A energia da luz seria $E=K+U=mc^{2}/2$+ $\left(-GMm/R_{e}\right)=0$, daí $R_{e}=2GM/c^{2}$. Se a luz se encontrar se encontrar num raio menor, a energia será menor que zero e a luz não consegue escapar.
   Agora estudaremos a possibilidade de existir este tipo de objeto na relatividade. Vimos que para um observador muito longe de uma massa esférica de massa $M$ o desvio gravitacional de um sinal de frequência $f_{baixo}$ em $R_{baixo}$ é:
   
   $$f_{alto}=f_{obs}=f_{baixo}\left(1-\frac{GM}{R_{baixo}c^{2}}\right)\;,$$
   
   

de modo que se $R_{baixo}=GM/c^{2}$, $f_{alto}=0$ e um relógio em $R_{baixo}$ teria sua marcha parada visto do infinito. Se um objeto emitindo um sinal cai sobre $M$, o sinal chega cada vez mais devagar e só será recebido pelo observador no infinito enquanto $R_{baixo}>GM/c^{2}$. Para $R_{baixo}\leq GM/c^{2}$, a luz emitida não escapa. A fórmula acima para $f_{alto}$ é consequência do princípio de Equivalência e só vale para campos gravitacionais fracos. Para campos fortes, como nas proximidades de um buraco negro, o raio limite $GM/c^{2}$ se torna $2GM/c^{2}$. Isso acontece pois na relatividade geral a fórmula geral para $ds^{2}$ perto de uma massa $M$ é:

$$ds^{2}=\gamma\left(r\right)^{2}c^{2}dt^{2}-\frac{1}{\gamma\l... ...dr^{2}-r^{2}\left(d\theta^{2}+sen^{2}\theta d\phi^{2}\right)\;.$$

Já encontramos está fórmula para $\theta=\pi/2$ no caso da deflexão da luz por uma massa.

Temos

$$\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{2GM}{rc^{2}}}}\;.$$

Assim vemos que o tempo próprio

$$d\tau=\sqrt{1-\frac{2GM}{rc^{2}}}dt$$

se anula, e a distância própria

$$dl=\frac{dr}{\sqrt{1-\frac{2GM}{rc^{2}}}}$$

diverge se $r=r_{Sch}=2GM/c^{2}$. Este valor se chama raio de Schwarzschild. Para um corpo como o Sol, $r_{Sch}\ll R_{\odot}$ estas singularidades não são físicas, da mesma maneira que o potencial gravitacional de Newton $V\left(r\right)=-GM/r$ não vale dentro da massa . Porém, para certos corpos de massa muito elevada, $r_{Sch}>R$ é possível ($R$, raio do corpo).
Tais objetos, batizados de buracos negros por Wheeler em 1967, podem ser formados durante a evolução de estrelas. Como vimos, as estrelas brilham pois nelas acontecem reações nucleares. Quando acaba seu combustível uma estrela como o Sol se torna uma anã branca (depois de uma fase como gigante vermelha). Estrelas mais massivas do que o Sol tem um final mais espetacular, elas explodem como uma supernova, deixando como sobra uma estrela de neutrons ou um buraco negro, (dependendo se a massa inicial da estrela era maior ou muito maior que a massa do Sol). Em 1967, foram descobertos objetos chamados de pulsares identificados como estrelas de nêutrons em rotação. A busca por buracos negros é mais complicada. Hoje em dia existem vários candidatos. Por exemplo, o sistema binário Cygnus XI contém uma estrela azul e um outro objeto de massa aproximadamente $6M_{\odot}$que pode ser um buraco negro. Clique aqui para ver as imagens.
Outros exemplo são os quasares, objetos extremamente afastados e extremamente brilhantes (veja a lista 6). Acredita-se que são buracos negros supermassivos. A luz emitida viria de matéria acelerada ao cair sobre o buraco negro. (Clique aqui para ver as imagens do quasar 3C273)
Sobre objetos compactos, pode se ver a palestra do professor Horvath no Convite à Física de 2005.

2. Ondas gravitacionais
Na teoria de Newton, a interação eletromagnética ou gravitacional é instantânea. Na relatividade isto não é possível. Nós já argumentamos (aula 9) que uma carga deslocada deve emitir um fóton ou, em outras palavras, cargas aceleradas emitem radiação eletromagnética. Da mesma maneira, uma massa acelerada emite ondas gravitacionais.

Uma maneira de visualizar estas ondas é a seguinte. Voltamos a nossa banda de borracha esticada da aula 11. Imaginamos um sistema binário sobre ela, um par de bolas em movimento uma ao redor da outra. Enquanto elas se movimentam, ondulações se propagarão sobre a banda de borracha. Estas ondulações são uma visualização das ondas gravitacionais.

No universo, podem existir vários tipos de fontes de ondas gravitacionais como por exemplo sistemas binários (2 estrelas de nêutrons, 2 buracos negros ou 1 estrela de nêutron e 1 buraco negro) colapsando, buracos negros supermassivos, remanescentes do big bang.

Como detectar estas ondas gravitacionais? Se uma onda gravitacional encontra um bloco de matéria, este bloco experimenta um pequeno tremor. Existem experiências em andamento no mundo para tentar detectar esse tremor. O Brasil também participa deste esforço como explicado pelo professor Aguiar na sua palestra do Convite à Física de 2005. Por enquanto nenhuma destas experiências detectou ondas gravitacionais, desta maneira direta. Mas isto não é motivo para desanimar: acredita-se que o sistema binário contendo o pulsar PRS1913+16 emite ondas gravitacionais. Neste caso, isto é visto de forma indireta, por um minúsculo decrescimento no período orbital do pulsar e portando de sua órbita, o que ocorre pois ele perde energia emitindo ondas gravitacionais. O artigo ``Gravitational Waves from an Orbiting Pulsar", de Weisberg, Taylor and Fowler, publicado na revista Scientific American em outubro de 1981, traz mais informações. Hulse e Taylor descobriram este sistema em 1974 e receberam o prêmio Nobel em 1993. Clique aqui para maiores detalhes do pulsar PRS1913+16 (em inglês).

3. Cosmologia.

Na escala cósmica das galáxias, a gravidade é a força dominante. Já em 1917, Einstein aplicou a relatividade geral para modelar o comportamento do universo como um todo. Naquela época, sequer estava estabelecida a existência de galáxias diferentes da nossa. Também se desconhecia a expansão do universo, de forma que Einstein adicionou um termo às suas equações, chamado ``termo cosmológico'', para obter um modelo estático (a ``maior besteira'' da sua vida, segundo ele, mas hoje em dia este termo cosmológico voltou a ficar em moda, clique aqui para saber o porquê.

Em 1922, o russo Friedmann mostrou que sem o termo cosmológico adicional, existem modelos do universo em expansão. Em 1929 o astrônomo Hubble, baseado em suas observações, sugeriu que o universo estava mesmo em expansão. Einstein formalmente abandonou seu termo adicional num artigo de 1930.

O intervalo de espaço-tempo para estes modelos de universo em expansão (usando o fato de que o ``fluido'' de galáxias parece ser homogêneo e isotrópico em grandes escalas) é dado pela métrica de Friedmann-Robertson-Walker:

$$ds^{2}=c^{2}dt^{2}-R^{2}\left(t\right)\left(\frac{dr^{2}}{1-kr^{2}}+r^{2}d\theta^{2}+r^{2}sen\theta^{2}d\phi^{2}\right)\;,$$

onde $k$ é a constante de curvatura espacial do universo que pode valer +1 (universo fechado), 0 (universo plano) e -1 (universo aberto). Intuitivamente isso corresponde a espaços onde a energia potencial domina ($k=1$) e o universo pode recolapsar, a energia potencial e a energia cinética dominam igualmente ($k=0$) e só a energia cinética domina ($k=-1$ ), em ambos estes últimos dois casos, o universo expande para sempre. O termo $R\left(t\right)$ é um fator de escala, que precisa ser calculado e cuja variação com o tempo dá a taxa de expansão do universo:

$$\frac{1}{R\left(t\right)}\frac{dR\left(t\right)}{dt}\equiv H\left(t\right)\;.$$

O parâmetro de expansão $H\left(t\right)$ é conhecido como o parâmetro de Hubble, (seu valor atual $H_{0}\equiv H\left(t_{0}\right)$ é conhecido como constante de Hubble). A figura abaixo mostra um gráfico da velocidade das galáxias em função da posição obtido por Hubble. Note que quanto mais afastada a galáxia se encontra, maior sua velocidade de afastamento.

A taxa de expansão do universo obtida por Hubble através deste gráfico, dada simplesmente pelo coeficiente angular da reta, vale $H_{0}\approx500km/sMpc$, onde $Mpc$ (se lê megaparsec) é uma medida de distância e vale cerca de $3,3\times10^{6}$ anos luz. Apesar da conclusão de Hubble estar correta, o valor encontrado por ele está muito distante do que medimos hoje, ou seja, $H_{0}\approx70km/sMpc$. A figura abaixo mostra o mesmo gráfico, conhecido hoje como diagrama de Hubble, para medidas mais modernas.

Hoje acredita-se que o universo tem curvatura nula e está em expansão acelerada, mas esta visão pode mudar. Mais sobre este assunto pode ser encontrado na palestra do Prof. Abramo no Convite à Física de 2005.