Precessão do periélio de Mercúrio

Quando Einstein desenvolveu a relatividade geral, ele propôs 3 testes dela:

1. deflexão de um feixe de luz por um campo gravitacional: isto foi comprovado pela observação de estrelas durante o eclipse de 1919 e posteriormente com outros eclipses e outros tipos de observações (ver por exemplo a lista 11).
2. Desvio gravitacional da frequência de um feixe de luz num campo gravitacional: isto foi comprovado pela experiência de Pound e Rebka na torre de Harvard em 1960. Como frequência é o inverso do tempo, a marcha de um relógio é afetada por um campo gravitacional e isto foi testado colocando-se relógios em um avião.
3. Precessão do periélio de mercúrio: havia uma pequena discrepância entre a precessão calculada pela mecânica newtoniana e a precessão observada, $43,11''\pm0,45''$ por século. Quando Einstein calculou o valor desta precessão usando a relatividade geral, ele encontrou quase $43''$. Quando ele percebeu que este resultado era uma consequência natural da sua teoria, sem nenhuma hipótese adicional, Einstein ficou extremamente feliz. Abraham Pais, físico e biógrafo de Einstein, em ``Sutil é o Senhor'' escreve que: ``esta descoberta foi, eu acredito, a experiência emocional mais forte da vida científica de Einstein, talvez de toda a sua vida. A natureza tinha falado com ele''.

Vamos analisar um pouco mais afundo este terceiro item. De acordo com a mecânica newtoniana, as órbitas dos planetas deveriam ser elipses fechadas, com o sol situado em um dos focos e os eixos apontando sempre as mesmas direções do espaço. Na prática, porém, a elipse não fica no mesmo lugar o tempo todo. Em particular, o ponto de máxima aproximação ao Sol (periélio) muda de localização.

Nessa animiação, do site pode-se ver isso melhor.

Essa precessão é de 574''/século. Boa porte dela pode ser explicada pelas perturbações devido aos outros planetas. Porém, sobra 43''/século que não é explicada. Acreditou-se que isso seria devido a um planeta desconhecido, ``Vulcan'', (Afinal, é dessa forma que a existência de Neptuno fora prevista para entender o movimento de Urano). Esse planeta nunca foi descoberto e foi somente com a publicação do trabalho de Einstein que esse mistério teve fim.

Para entender o papel da relatividade geral, vamos começar esboçando aqui a solução clássica do problema do movimento de uma partícula teste no campo gravitacional de outra partícula muito massiva. Acharemos, e Newton mostrou, que as órbitas possíveis são: elipse, hipérbola e parábola.

Consideremos duas massas $m_{1}$ e $m_{2}$ nas posições $\vec{r}_{1}$ e $\vec{r}_{2}$.

A força em $m_{1}$ devido a $m_{2}$é:

$$\vec{F}_{12}=m_{1}\ddot{\vec{r}}_{1}=-\frac{Gm_{1}m_{2}}{r^{2}}\hat{r}\;.$$

Esta equação depende de $\vec{r}_{1}$e $\vec{r}_{2}$, mas $\vec{F}_{12}=-\vec{F}_{21}=-m\ddot{\vec{r}}_{2}$, daí segue que:

$$\ddot{\vec{r}}=\ddot{\vec{r}}_{1}-\ddot{\vec{r}}_{2}=-\frac{G\left(m_{1}+m_{2}\right)}{r^{2}}\hat{r}\;,$$

de modo que podemos reescrever a equação do movimento como:

$$m\ddot{\vec{r}}=-m\frac{\mu}{r^{2}}\hat{r}\;.\;\;\;\left(1\right)$$

onde

$$\frac{1}{m}\equiv\frac{1}{m_{1}}+\frac{1}{m_{2}}\;\;\textrm{e}\;\;\mu=G\left(m_{1}+m_{2}\right)\;.$$

A vantagem é que a nova equação (1) só depende de $\vec{r}$.

Quando $M=m_{1}\gg m_{2}$, temos $\mu\simeq GM$ e $m\simeq m_{2}$, daí a equação (1) representa o movimento do corpo 2 ao redor do corpo 1.

Queremos agora resolver a equação (1). O momento angular de $m$ é $\vec{L}=\vec{r}\times m\dot{\vec{r}}$, de modo que

$$\begin{eqnarray*} \frac{d\vec{L}}{dt} & = & \dot{\vec{r}}\times m\dot{\vec{r}}+\... ... & = & \vec{r}\times\left(-m\frac{\mu}{r^{2}}\hat{r}\right)=0\;,\end{eqnarray*}$$

ou seja, o momento angular é constante. Como $\vec{L}$ é por definição perpendicular a $\vec{r}$, este tem que se manter num plano perpendicular a $\vec{L}$. Em outras palavras, a partícula se move num plano e só precisamos de duas coordenadas para descrever seu movimento $\vec{r}$ depende só de $r$ e $\phi$, coordenadas polares. Com isto, nossa equação (1) se escreve:

$$\left(\ddot{r}-r\dot{\phi}^{2}\right)\hat{r}+\frac{1}{r}\fra... ...left(r^{2}\dot{\phi}\right)\hat{\phi}=-\frac{\mu}{r^{2}}\hat{r}$$

Tomando o produto escalar desta equação com $\hat{\phi}$, $r^{2}\dot{\phi}=\textrm{const}\equiv h$, que na verdade indica a conservação de $\vec{L}$. Tomando o produto escalar desta mesma equação com $\hat{r}$, obtemos:

$$\ddot{r}-r\dot{\phi}^{2}=-\frac{\mu}{h^{2}}\;.$$

Queremos achar a órbita $r$ em função de $\phi$. Introduzindo a variável $u=1/r$ a equação acima se reduz à equação de Binet:

$$\frac{d^{2}u}{d\phi^{2}}+u=\frac{\mu}{h^{2}}\;.$$

Esta equação tem como solução:

$$u=\frac{\mu}{h^{2}}+Ccos\left(\phi-\phi_{0}\right)\;,$$

com $C$ e $\phi_{0}$ constantes. Definindo $l=h^{2}/\mu$ e $e=Ch^{2}/\mu$ , temos:

$$\frac{l}{r}=1+ecos\left(\phi-\phi_{0}\right)\;.$$

Esta solução é a equação polar de uma seção cônica onde $l$ determina a escala, $e$ a excentricidade e $\phi_{0}$ a orientação em relação ao eixo $z$. Temos:

$$\begin{eqnarray*} \textrm{se } & 0<e<1 & \textrm{uma elípse},(e=0,\textrm{círcul... ...rm{uma parábola,}\\ \textrm{se } & e>1 & \textrm{uma hipérbole}.\end{eqnarray*}$$

Pode-se mostrar que os casos acima correspondem respectivamente a $E<0$, $E=0$ e $E>0$ onde $E$ é a energia de $m$.

Observações:

1. Conforme já explicado, a presença de outros corpos afeta a órbita.
2. A fórmula clássica do desvio da luz (ou espalhamento Rutherford), que vimos ao discutir a deflexão da luz por uma massa:
   
   $$tan\frac{\delta}{2}=\frac{GM}{bv_{0}^{2}}\;\;\textrm{se\;\;}m\ll M$$
   
   

é uma outra maneira de escrever nossa solução $l/r=1+ecos\left(\phi-\phi_{0}\right)$ para $r\rightarrow\infty$e $e>1$ (hipérbole).

Na relatividade geral, devido a curvatura do espaço, a equação para $u$ é:

$$\frac{d^{2}u}{d\phi^{2}}+u=\frac{\mu}{h^{2}}+\frac{3\mu u^{2}}{c^{2}}\;.$$

Este resultado difere do caso clássico pelo último termo da direita, que é pequeno para Mercúrio. Neste caso a solução é (se $\phi_{0}=0$ ):

$$u\sim\frac{\mu}{h^{2}}\left\{ 1+ecos\left[\phi\left(1-\epsilon\right)\right]\right\} \;,$$

onde $\epsilon=3\mu/h^{2}c^{2}$, daí

$$\frac{l}{r}=1+ecos\left[\phi\left(1-\epsilon\right)\right]\;.$$

Eeste resultado bate com o caso elástico quando $\epsilon=0$. Com as correções da relatividade geral o planeta tem como órbita uma elipse mas o eixo desta gira de $2\pi\epsilon$ entre 2 pontos de aproximação máxima (veja a primeira figura desta seção). Pode-se mostrar que a precessão do periélio por revolução é:

$$2\pi\epsilon\approx\frac{24\pi^{3}a^{2}}{c^{2}T^{2}\left(1-e^{2}\right)}\;,$$

onde $a$ é o semi eixo-maior e $T$ o período. Para Mercúrio, isto leva a precessão do periélio durante um século de aproximadamente 43'', como anunciado acima.