Oscilações e Ondas
Guia do laboratório, Apresentação da aula teórica (1,8 MB PowerPoint!), exercísios.
Porque estudar Oscilações e Ondas?
A função (farmacológica, por exemplo) de moléculas depende da estrutura delas: onde estão os átomos em relação aos outros. Mas muitas vezes estamos também interessados na dinâmica, o movimento em função do tempo. Para pequenos desvios, o movimento é oscilatório, em volta das posições de equilíbrio. Espectrometria utilize estas oscilações (característico de cada sistema) para o propósito de identificação.
Para coleções grandes grandes de partículas, ou para distribuições contínuos de matéria, ou para campos, introduzimos ondas. Se estamos lidando com um número macroscópico de partículas, não adianta especificar a posição e velocidade de cada partícula em função do tempo. A descrição das excitações coletivas de objetos macroscópicas é melhor feito em termos de ondas.
Por fim, no início do Sec. 20 ficou claro que partículas tem características ondulares. Precisamos entender ondas clássicas para apreciar a descrição mais completa da realidade que a mecânica quântica fornece. Mas vamos começar com um sistema oscilatório canônico: o sistema mola-massa.
Lei de Hooke e Osciladores Harmônicos
Quando aplicamos uma força a uma mola, o deslocamento (em relação à posição de equilíbrio) é proporcional à força aplicada, x = Fsobre a mola/k. Este "lei" foi enunciado pela primeira vez por Hooke, em forma de um anagrama: ceiiinosssttuv ou "ut tensio, sic vis", como a extensão, assim é a força. Em molas o materiais reais esta lei é válida para extensões pequenas. Observe:
- No sistema mola-massa, estamos interessados na força sobre a massa. Este força é igual em valor, e no sentido oposto que a força que a massa exerce sobre a mola: Fsobre a massa = -Fsobre a mola. Assim o deslocamento da massa x = -Fsobre a massa/k ou Fsobre a massa = -kx
- A lei de Hooke é um exemplo de comportamente comumente observado em sistemas que estudamos: proporcionalidade entre o estímulo ("causa") e a resposta ("efeito"). Outros exemplos incluem a lei de Ohm (a corrente é proporcional à tensão aplicada), a lei de Poiseuille (o fluxo é proporcional à diferença de pressão aplicada), etc. É por causa disso que o estudo do sistema mola-massa é tão importante: a mesma matemática se aplica em todas estas situações.
Queremos estudar então o movimento de uma massa acoplada a uma mola. A força sobre a massa sempre está na direção da posição de equilíbrio, e qualitativamente é evidente que o movimento vai ser oscilatório. Mas para obter o movimento em função do tempo quantitativamente precisamos formular o modelo matematicamente, o que desde Newton é feito por meio de equações diferenciais.
Equações diferenciais
O movimento de uma partícula é determinado pelas forças agindo sobre ela. A segundo lei de Newton é uma equação diferencial que diz como a velocidade (e posição) da partícula muda: a = F/m ou dv/dt = F/m: a força determina a mudança da velocidade. Para resolver esta equação, ou seja, descobrir a velocidade da partícula em função do tempo, precisamos achar a função v(t) que obedece a equação.
Podemos fazer uma analogia com álgebra simples. Para resolver a equação 3x-1 = 5, temos duas estratégias: primeiro, usar as técnicas que aprendemos na escola ou segundo, tentar vários números, substituir na equação e ver se da certo. Seguindo a segunda estratégia, podemos tentar x=0: 3×0-1 = -1, não deu certo. Mas substituindo x=2 na equação, vemos que x=2 é uma solução.
Vamos aplicar a segunda estratégia para resolver a equação diferencial que determine o movimento de um sistema massa mola. Temos dv/dt = -kx/m ou dx2/dt2 = -kx/m (a notação df2/dt2 quer dizer "a segunda derivada" ou "duas vezes a derivada" de f(t)). A solução de uma equação diferencial é uma função, neste caso x(t). Substituindo x(t) = Asen(sqrt(k/m)t) na equação, podemos ver que este realmente é uma solução.
O período T, o tempo que leva para o movimento se repetir, é dado por 2pi/sqrt(k/m). Pode ver isto substituindo t=T na função: o seno se repete após 2pi. A frequência f = 1/T e a frequência angular ω é 2pi/T = 2pi f. O deslocamento x oscila entre -A e A ("A" na função acima é o amplitude ).Com estas definições, a frequencia com que um sistema massa-mola livre oscila é ω0 = sqrt(k/m), a chamada frequência natural.
Ressonância
Acima descrevemos o movimento do sistema massa-mola livre. Se forçamos o sistema vibrar com uma frequência imposto por nós, o movimento de oscilar com esta mesma frequência, mas com amplitude que depende da frequência de excitação. Pode se mostrar que o deslocamento x(t) tem uma amplitude máxima quando a frequência de excitação é a frequência natural do sistema livre. Neste caso, dizemos que excitamos o sistema na frequência de ressonância.
Ondas
O que entendemos por ondas? É um distúrbio ou pertubação de algo que se propaga no espaço. Pense nas ondas circulares que emanam de uma pedrinha jogada na água, por exemplo, ou uma onda de torcedores num estádio. Ondas transportam energia e informação de um lugar para outro, igual a massa em movimento. Mas no caso de ondas não há transporte de matéria!: é importante não confundir a velocidade do meio coma velocidade da onda. Um torcedor participando numa onda num estádio não muda de lugar. As moléculas de ar são colocados em vibração pelas suas cordas vocais, mas em média não mudam de lugar quando escuto a sua voz.
Este é uma diferença básica entre por exemplo uma onda em forma de um pulso e uma partícula em movimento. Ambos transportam energia, momento e informação, mas a maneira que isto acontece é fundamentalmente diferente. Por isto um fenômeno pode ser descrito em termos de ondas ou em termos de partículas, mas não ambos, na visão chamado clássica da natureza.
Ondas senoidais
Vamos considerar agora ondas especiais: as ondas senoidais ou harmônicas. São ondas que num instante de tempo tem a forma de um seno, e numa posição fixa o movimento varia também senoidalmente com o tempo. A função que descreve esta onda progressiva é
O comprimento de onda λ é a distância depois de qual a função se repete; determine a rapidez da variação no espaço. A frequência determine a rapidez da variação no tempo.
As ondas discutidas até agora progridem no espaço, e serão úteis na aula seguinte para descrever raios de luz se propagando no espaço. Mas as coisas ficam mas interessantes ainda quando consideramos ondas confinados no espaço. Veremos na última aula que um elétron confinada pela atração com o núcleo deve ser descrito em termos de uma onda confinada, mas por enquanto podemos pensar nas ondas numa corda tencionada (de um violão por exemplo.
Uma partícula confinada entre duas paredes é reflito numa parede, re-reflito na outra parede, etc. resultando em um movimento periódico (com período T = 2L/v). Com uma onda confinada acontece a mesma coisa, com uma diferença: a onda se superpõe ("interfere") com ela mesma depois de ser refletida. Os pulsos indo e vindo se superpõe, e o resultado é um movimento complexo, mas periódico, com período T=2L/vonda (numa corda a velocidade da onda seria dado por vonda= sqrt(tensão/densidade linear)).
Agora vamos tentar achar um movimento da corda que não é somente periódico, mas também senoidal (harmônico). Se a onda tem que ser zero nos dois lados x=0 e x=L, para todos os tempos, obviamente ondas progressivas não servem, mas as chamadas ondas estacionárias podem servir. São ondas da forma
Mas qualquer comprimento de onda λ ou frequência f não serve: precisamos escolher os comprimentos de onda assim que a variação no espaço [dado pelo sen(2π/λ x) ] é zero nos pontos fixos. Se o seno é zero em x=0 e x=L, o deslocamento y será zero também nestes posições, para todos os tempos. Isto leva a condição que os comprimentos de onda podem ser 2L, L, 2L/3, 2L/4 etc. Estes são os únicos comprimentos de onda possíveis que satisfazem a condição que y(x=0,t) = 0 e y(x=L,t) = 0.
Concluímos que se impomos a condição de ondas harmônicas, confinadas no espaço, então os comprimentos de onda (e frequências) destas ondas são discretos. Estas ondas duplamente especial (porque são ondas não só harmônicas, mas também com um comprimento de onda especial) são os chamados modos normais, e os comprimentos de onda (ou frequência) são chamados de característicos. Para ondas numa corda tensionada, temos para a velocidade da onda sqrt(T/mu), λn = 2L/n e fn = vonda/λ = n/2L sqrt(T/mu).
Análise de Fourier
A pergunta é, porque estamos interessados em movimento tão especial da corda? Vimos que o movimento de ondas confinadas pode ser bem complicado e não pode ser descrito com ondas harmônicas estacionárias. Queremos saber como descrever o movimento em geral. Acontente que podemos descrever qualquer movimento periódico (qualquer onda) em termos de ondas harmônicas : qualquer movimento periódico é a soma de ondas harmônicas.
Isto é o teorema de Fourier: qualquer movimento, qualquer onda complicada, é composto de uma soma de ondas senoidais, com frequências f1, f2, f3 etc. Cada componente tem o seu peso. O conjunto destas coeficientes de cada onda harmônica é o chamado espectro.
Referências
- Ondas e mais ondas no site do fap0184 de 2003
- Animações de ondas, por Dan Russel
- Simulação de uma corda vibrante, e análise de Fourier por Paul Falstad, e um outro applet de análise de Fourier