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INSTITUTO DE FÍSICA

 

Física Moderna 1 - FNC0375

 2o SEMESTRE de 2007

Períodos: diurno e noturno

 

GUIA DE TRABALHO

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TÓPICO III – Modelos atômicos e caráter dual da matéria

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                        Profa. Mazé Bechara

 

 

 

Prof. Maria José ( Mazé) Bechara

 

TÓPICO III – Modelos atômicos e caráter dual da matéria

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Tempo previsto: ~ 07 aulas

conteúdo

 

III.1 modelos atômicos e regras de quantização

III.1.1 Os espectros discretos de radiação emitidos por substâncias gasosas e  os picos característicos no espectro de produção de raios X indicando  quantizações.

III.1.2 O modelo de J.J. Thomson para o átomo: descrição do estado fundamental e a possibilidade de emissão espectral em estados excitados. Os acertos e  dificuldades do modelo.

III.1.3. A experiência de Rutherford. Conceito de espalhamento de partículas: energia incidente, parâmetro de impacto, ângulo de espalhamento, seção de choque diferencial e total. A proposta de Rutherford de átomo nucleado para justificar os resultados experimentais. Estimativa do tamanho do núcleo a partir da comparação dos resultados experimentais da seção de choque diferencial versus energia incidente com os previstos pela física clássica no modelo do átomo nucleado de Rutherford.

III.1.4 Os espectros experimentais de emissão e absorção de átomos de hidrogênio: o que são e como se mostram. O modelo de Bohr para o átomo de hidrogênio e seus resultados de acordo com os experimentais para os espectros de emissão e absorção atômica. Os espectros dos átomos maiores do que o H.

III.1.5 Outras evidências da quantização de energia nos átomos.

 

III.2 O caráter dual da matéria

III.2.1 A proposta (teórica) de de Broglie do caráter dual da matéria: razões físicas e as relações que vinculam o caráter ondulatório ao corpuscular.

III.2.2 Possíveis ondas de de Broglie para sistemas reais (estacionários) com módulo de velocidade constante: partícula presa em uma caixa e o átomo de H. Quantizações decorrentes. 

III.2.3 Experimentos que mostram caráter ondulatório das partículas:  o  experimento de Davisson e Germer e a interferência de fenda dupla (experimento de Young). A realidade do caráter ondulatório das partículas.

III.2.4 Ondas harmônicas e pacotes de onda na Física clássica – velocidade de fase e da onda do pacote. A impossibilidade de representar uma partícula de módulo de velocidade variável por uma onda harmônica.

III.2.5 As relações dos pacotes de ondas na Física Clássica. Uma interpretação das relações do pacote de onda de  partículas - o princípio de incerteza de Heisenberg. Determinação de energia mínima do sistema usando o princípio de incerteza.

 

Referências para o tópico: as referências são alternativas. Escolha pelo menos uma para um efetivo aprendizado.

          livros textos (facilmente encontrados):

1.  Física Quântica do Eisberg e Resnick; Editora Campus Capítulo 4 (tópico III.1) e Cap.3 (III.2).

2.  Física Moderna - Paul A. Tipler e Ralph A . Llewellyn, terceira edição - traduzido para o português pela editora LTC, Caps. 4 e 5;

3.  Introduction to Atomic Physics de Enge, Wehr e Richards; Copyright Ó 1972 by Addison-Wesley Publishing Company, Inc. Cap.4 (tópico III.1) e Cap.5 (III.2).

4.  Modern Physics for scientists and engineers de Thornton & Rex; Copyright Ó 2000 by Saunders College Publishing; Cap 4 (III.1) e Cap. 5 (III.2).

5.  Notas de aulas de Roberto V. Ribas - endereço na Internet: http://www.dfn.if.usp.br/~ribas/download.html; Caps.4 e 5

 

Segue uma lista mínima de questões para serem trabalhadas pelos estudantes. Há outras questões de interesse no final dos capítulos citados nas referências. Este guia também pode ser encontrado na página da disciplina: http://plato.if.usp.br/~fnc0375d/ e http://plato.if.usp.br/~fnc0375n/

 

QUESTÕES REFERENTES AO TÓPICO III

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Observações: 1. as questões com * são mais trabalhosos

                        2. as questões com è são indispensáveis           

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modelo de Thomson para o átomo

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1.     è (a) Em que o átomo de Thomson difere de uma distribuição aleatória de prótons e elétrons em uma região esférica?

(b)   Faça uma lista de objeções ao modelo atômico de Thomson.

 

2.     è A intensidade do campo elétrico a uma distância r do centro de uma esfera uniformemente carregada de raio R e carga total Q é  quando r<R e é o versor na região radial. Tal esfera corresponde à distribuição de cargas positivas no modelo de Thomson para o átomo de hidrogênio.

(a)  Mostre que um elétron no interior desta esfera pode executar um movimento harmônico simples em torno de seu centro em certas condições. Explicite as condições e derive uma relação para a(s) freqüência(s) deste movimento.

(b)  No caso do átomo de hidrogênio, determine a(s) freqüência(s) de oscilação do elétron e compare com as freqüências das linhas espectrais observadas.

 

3.      Qual deve ser o raio, no modelo de Thomson, de um átomo de um elétron para que ele irradie uma linha espectral de comprimento de onda l=6000Å? Comente seu resultado diante do que se conhece experimentalmente.

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O átomo nucleado de Rutherford e seu experimento de espalhamento elástico.

Conceito de seção de choque em geral

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4.     è O chamado espalhamento de Rutherford é o espalhamento de um feixe de partículas alfa por uma folha fina de material, no caso pense numa folha de ouro.

a)    Segundo a interpretação de Rutherford, qual a força relevante na interação entre as partículas alfa quando incidem na folha de ouro?

b)    Qual a relação entre o número de partículas alfa que entra por unidade de tempo num detetor colocado num dado ângulo q em relação à direção incidente com:

b1) a energia da partícula alfa;

b2) o ângulo do detetor;

b3) a carga da partícula alfa;

b4) a carga do núcleo de ouro;

b4) o número de núcleos de ouro.

 

5.     Um feixe fino de partículas alfa de energia cinética de 4,8MeV incide perpendicularmente numa folha de cobre (alvo) de 10-4cm de espessura. O feixe tem 106 partículas por segundo e a densidade do cobre é 8,9g/cm3. Quantas cintilações por minuto serão produzidas pelas partículas espalhadas numa tela fluorescente de 2x2mm, colocada a 5cm do centro do alvo  e numa direção de 60º com feixe incidente? Este é um caso estudado por Geiger e Marsden, colaboradores de Rutherford..

 

8.     è Um feixe de partículas alfa de energia cinética E incide sobre um alvo fino de ouro e as partículas espalhadas são detectadas por um contador de partículas alfa. Fixando-se o ângulo de deteção em aproximadamente 180º em relação ao feixe incidente e variando-se a energia das partículas alfa incidentes, verifica-se que a razão entre a seção de choque experimental (ds/dW)exp e a seção de choque prevista por Rutherford (ds/dW)Ruth apresenta o seguinte comportamento:

 

                                                   

 

15

 
                  

 

(a)    O que significa fisicamente a igualdade =1 válida até cerca de 15Mev? E o decréscimo no gráfico acima de 15MeV? Justifique.

(b)    Estime o raio nuclear a partir do gráfico dado.

(c)    Fixando a energia em E=5MeV determine o número de partículas que serão detectadas a 90º, quando a folha de ouro tem 10-4cm de espessura e a intensidade do feixe incidente é de 106 partículas por segundo. O detetor, colocado a 5 cm do alvo, tem uma área de 4mm2. A  densidade do ouro é de 19,28g.cm-3. 

 

9.      

a)    Calcule o número de átomos por unidade de volume (n) para o ouro e para o alumínio. A densidade do Au vale 19,3 g.cm-3 e a do Al vale 2,7g.cm-3.

b)    Quando um feixe fino e paralelo de partículas alfa de 4,8MeV incide perpendicularmente à uma folha fina de Au de espessura 4x10-5cm, um detetor, colocado num ângulo de 20º em relação ao feixe incidente, recebe 2x104 partículas por segundo. Quantas partículas alfa serão detectadas no ângulo de 60º?

c)     Se a folha de Au for trocada por uma de Al, quantas partículas serão detectadas em 20º num segundo, caso a nova folha tenha 6x10-5cm de espessura?

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modelo de Bohr para o átomo e suas transições e outras regras de quantização

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10. Usando a fórmula de Bohr calcule os três maiores comprimentos de onda da série de Balmer. Entre que limites de comprimento de onda está a série de Balmer?

 

11. è Calcule o menor comprimento de onda da série de Lyman, Balmer,  Paschen e da série de Pfund para o hidrogênio. Em qual região do espectro eletromagnético está cada uma?

 

12. è O que você entende por princípio da correspondência em relação às energias do átomo de hidrogênio?

 

13. è Suponha que o momento angular da Terra (de massa 6x1024kg) devido a seu movimento em torno do Sol (órbita de raio=1,5x1011m) seja quantizado segundo a relação de Bohr . Qual é o valor do número quântico n? Poderíamos detectar tal quantização?

 

14. Um átomo de tungstênio (Z=74) tem arrancados todos os seus elétrons exceto um.

a)    Calcule a energia do estado fundamental desse elétron, a partir da energia do estado fundamental do hidrogênio.

b)    Calcule o comprimento de onda da radiação emitida quando esse único elétron sofre uma transição do estado n=2 para n=1. Onde se localiza esse fóton emitido no espectro eletromagnético?

 

15.  

a)    Calcule a energia total do estado fundamental do átomo de helio (He) admitindo que os dois elétrons estão na órbita n=1 e desprezando qualquer interação entre eles.

b)    Considerando a repulsão colulombiana mútua e supondo que os dois elétrons mantenham entre si a distância máxima nessa órbita (velocidade relativa nula), calcule a energia elétrica de interação entre eles.

c)     A energia de ionização do átomo é a mínima energia necessária para remover-lhe um elétron. Baseando-se nos itens anteriores estime a energia de ionização do átomo de He. Compare seu resultado com o valor experimental 24,6eV e comente.

 

16. è Um átomo hipotético de um elétron (não é o átomo de hidrogênio) tem estados excitados com as seguintes energias de excitação (valores de energias dos estados em relação ao estado fundamental): 5,0; 7,0; 8,0 e 8,5eV. Um feixe de radiação contendo fótons de 8,0; 6,0; 5,0; 3,0; e 0,5 eV (portanto o feixe não é monocromático) atravessa uma amostra destes átomos hipotéticos. Responda as questões abaixo dentro das regras de transição atômica propostas por Bohr:

a)    Faça um diagrama dos níveis de energia destes átomos.

b)    Quais dos fótons são absorvidos se todos os átomos estão no estado fundamental? Justifique.

c)     Quais dos fótons serão absorvidos se todos os átomos no recipiente tanto no estado fundamental como em todos estados excitados? Justifique.

d)    Qual a quantidade de movimento de recuo do átomo no decaimento do terceiro estado excitado para o primeiro estado excitado? Justifique.

 

17. *Utilize o modelo de Bohr do átomo de hidrogênio para mostrar que durante a transição do estado n para o estado n-1 a freqüência da luz emitida é:

 

 

(a)  Mostre que quando n®¥ a expressão acima varia com  

(b)  Obtenha classicamente a freqüência de revolução de um elétron na órbita circular, e mostre que esta freqüência coincide com o seu resultado ao item (a) obedecendo, portanto, o princípio da correspondência.

 

18. Suponha que o momento angular da Terra (massa de 6x1024kg) devido a seu movimento em torno do Sol (órbita circular de raio=1,5x1011m) seja quantizado segundo a relação de Bohr . Qual é o valor do número quântico n? Poderíamos detectar tal quantização?Justifique.

 

19. Em uma experiência do tipo da de Franck-Hertz bombardeia-se hidrogênio atômico com elétrons, e obtêm-se os potenciais de excitação em 10,21V e 12,01V.

a)    Explique a observação de que três linhas diferentes de emissão espectral acompanham essas excitações. (Sugestão: trace um diagrama de níveis de energia.).

b)    Suponha agora que as diferenças de energia podem ser expressas como hn e obtenha os três valores possíveis de n.

c)     Suponha que n é a freqüência da radiação emitida e determine os comprimentos de onda das linhas espectrais observadas.

 

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O caráter ondulatório das partículas segundo de Broglie

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20. è Calcule o comprimento de onda de de Broglie para:

a)    elétron com energia cinética de 50eV.

b)    elétron relativístico com energia total de 20MeV.

c)     nêutron em equilíbrio térmico com o meio a T=500K (neutron térmico).

d)    partícula alfa com energia cinética de 60MeV.

e)    grão de poeira de 1x10-6g em equilíbrio térmico na temperatura ambiente (T=300K).

f)      bolinha de 1g com velocidade 1 mm/s.

Para cada uma dessas partículas, encontre um exemplo de sistema com o qual as partículas devem interagir para mostrar seu caráter ondulatório.

 

21. è Um microscópio eletrônico usa as ondas de de Broglie para “ver” objetos muitos pequenos (dimensão da ordem de Angstroms). Qual a diferença de potencial acelerador que deve ser usado para acelerar elétrons, a partir do repouso, de modo a obter um comprimento de onda de 0,5Å? Comente seu resultado.

 

22. Qual deveria ser a energia cinética de um elétron para que seu comprimento de onda de de Broglie fosse igual ao comprimento de onda da luz azul (fótons de 3,6eV)?

 

23. è (a) Que tipo de onda poderia representar o elétron em uma órbita circular com energia cinética de 13,6eV, segundo de Broglie?  Esboce a onda e determine o comprimento de onda deste elétron.

(c)  Qual é a razão entre este comprimento de onda e o raio da primeira órbita de Bohr no átomo de hidrogênio?

 

24. Que tamanho deve ter um corpo para exibir efeitos de difração ao ser bombardeado com nêutrons de 10MeV?Existe algo na natureza com dimensões desta ordem de grandeza que possa ser usado como alvo para demonstrar as propriedades ondulatórias de nêutrons de 10MeV?

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o princípio de incerteza de Heisenberg para a dispersão da onda de partícula

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25. Uma partícula de massa m oscila entre duas paredes impenetráveis com choques elásticos nas paredes. Calcule, a partir do princípio de incerteza (DxDp>h/2p), a energia mínima da partícula.

 

26. è Um próton tem seu movimento confinado em uma caixa unidimensional de largura 0,2nm (1nm=10-9m - dimensões nano estão na moda!!)

a)    Encontre a mais baixa energia possível do próton.

b)    Qual é a mais baixa energia de um elétron confinado nesta mesma caixa?

c)     Como você explica a diferença entre os resultados encontrados em a) e b)?

 

27. Uma partícula de massa m oscila sujeita a uma força F(x)= -kx. Use o princípio da incerteza para calcular a energia mínima de oscilação da partícula, em termos da freqüência de oscilação.

 

28. è Um átomo de hidrogênio ao receber energia transita do estado fundamental (n=1) para o estado n=2. No estado de n=2 ele permanece por 10-8s antes de decair de volta ao estado fundamental.

(a)  Calcule a largura natural, ou seja, a incerteza na energia do estado n=2.

(b)  Qual o valor da razão deste entre a incerteza calculada no item anterior e a energia do átomo neste nível fornecida pelo modelo de Bohr? Justifique.

(c)  Comente a possibilidade de observação da largura natural da linha.

 

29. Se uma linha telefônica pode transmitir uma faixa de freqüências de 5000 Hz, qual é a duração aproximada do pulso mais curto que a linha é capaz de transmitir? Justifique.

 

30. è Escreva as relações de incerteza válidas para uma partícula em movimento tridimensional. Diga (em palavras) o seu entendimento do significado do princípio de incerteza para esta partícula.

 

31. A energia de um estado nuclear pode ser conhecida com uma indeterminação de 1eV. Qual é o tempo de vida mínimo deste estado, segundo o princípio de incerteza?

 

32. è Se um estado excitado de um átomo tem um tempo de vida médio de 10-7s, qual é a indeterminação na energia dos fótons emitidos por este átomo em uma transição espontânea para o estado fundamental, segundo o princípio de incerteza?

 

33. è A Física é universal e, portanto, vale para qualquer objeto do universo físico. Um próton e uma bala de revolver de 10g se movem com velocidade de 500m/s. Há uma imprecisão na velocidade de 0,01%. Se as posições dos dois objetos são medidas ao mesmo tempo que as respectivas velocidades, qual é a melhor precisão possível das medidas de posição em cada um dos casos, segundo o princípio de incerteza? Justifique.