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INSTITUTO DE FÍSICA   

 

 

Física Moderna 1 - FNC0375

Períodos: diurno e noturno

2o Semestre de 2007

  

 

GUIA DE TRABALHO

 

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Tópico I - Evidências da quantização da massa e da carga na matéria

 

 

Prof. Maria José (Mazé) Bechara

 

 

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Tópico I - Evidências da quantização da massa e da carga na matéria.

 

tempo estimado: 05 aulas

conteúdo

 

I.1. Modelos cinéticos simples para os gases, sólidos e líquidos a partir de evidências químicas e físicas do caráter corpuscular da massa.

I.2 Interpretação Física das grandezas de estado termodinâmico no modelo cinético: pressão, temperatura e energia. Resultados experimentais de calor específico molar a volume constante dos gases e dos sólidos, o teorema de equipartição de energia e os modelos cinéticos a matéria.

I.3 Bases da estatística clássica de Maxwell-Boltzmann:

            I.3.1 Conceitos de estatística: distribuições, normalização de distribuições, valores médios e valores mais prováveis. 

            I.3.2 Hipóteses básicas da estatística Clássica. O teorema de Boltzmann para distribuições de sistemas clássicos.

            I.3.3 Distribuições de energia e de outras grandezas físicas na estatística clássica de Maxwell-Boltzmann. A equipartição de energia e a relação entre a energia interna termodinâmica e as energias dos movimentos dos constituintes da matéria. 

            I.4 Evidências experimentais da existência de cargas na matéria neutra e de sua quantização. A medida de razão e/m (carga elementar sobre massa) no experimento de J.J. Thomson com os “raios catódicos” e o experimento de Millikan que mediu pela primeira vez a carga elementar.

I.5 Os “raios positivos” e as relações q/m dos íons dos elementos químicos. O espectrômetro de massa e os isótopos atômicos.

 

Referências:

1.  Introduction to Atomic Physics de Enge, Wehr e Richards; Caps. 1 e 2. Copyright Ó 1972 by Addison-Wesley Publishing Company, Inc. (cópia na xerox).

2.  Notas de aulas de Roberto V. Ribas - endereço na Internet: http://www.dfn.if.usp.br/~ribas/download.html; Cap. 1.

3.  Modern Physics for scientists and engineers de Thornton & Rex; Copyright Ó 2000 by Saunders College Publishing; Cap. 9.1 a 9.6; 3.1 e 3.2

4.  Física Moderna de Paul A . Tipler e Ralph A . Llewellyn, LTC editora Copyright Ó 2001; Cap. 8.1 e 3.1.

5.  Física ModernA – Origens Clássicas e Fundamentos Quânticos de Francisco Caruso e Vitor Oguri; Editora Campus (2006); Cap. 1 e 2 (história do modelo de matéria – vale a pena ler); Cap. 3 até o item 3.2.3, Itens 8.1.1 a 8.1.5.

6.  Física em seis lições de Richard Feynman; Ediouro (1999); para o tópico 1.1.  

 

Segue lista mínima de questões para serem trabalhadas pelos estudantes. Há muitas outras questões de interesse no final dos capítulos citados nas referências.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

QUESTÕES sobre o Tópico 1

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Da termodinâmica ao modelo cinético – a construção de uma imagem da distribuição de massa na matéria.

 

1.           Argumente no sentido de que os resultados do modelo cinético dos gases são evidências físicas da quantização da massa na matéria.

 

2.           Qual é o entendimento das grandezas físicas temperatura, pressão e calor específico molar a volume constante de um gás na teoria de Termodinâmica? E no modelo cinético?

 

3.           Descreva de forma comparativa, do ponto de vista de um modelo cinético, ou seja, da descrição da matéria como partículas clássicas em movimento: o estado gasoso, o estado líquido e o estado sólido. Explicite: os constituintes, os tipos de movimentos dos constituintes, as distâncias médias entre as partículas e a organização ou desorganização espacial dos constituintes.

 

4.           Para um gás ideal a capacidade calorífica molar a pressão constante Cp está relacionada com a capacidade a volume constante Cv por Cp=Cv+R. Uma quantidade freqüentemente medida é a razão g= Cp/Cv. Encontre Cp e Cv para um gás ideal cujas moléculas podem ser descritas pelos seguintes modelos mecânicos (revisão):

(a)         átomos esféricos que não rodam;

(b)         moléculas rígidas na forma de halteres;

(c)         moléculas não rígidas na forma de halteres que podem tanto vibrar como rodar.

 

5. A velocidade de propagação do som no ar a 270C é de aproximadamente 348m/s. Determine a razão entre esta velocidade e a velocidade quadrática média das moléculas de nitrogênio na mesma temperatura (revisão).

 

6.  a) Determine a velocidade quadrática média da molécula de hidrogênio (H2), de hélio e de nitrogênio (N2) na temperatura ambiente (300K).

  b) Explique porque há muitas moléculas de oxigênio e nitrogênio na atmosfera da Terra enquanto há bem menos moléculas de hidrogênio (lembre-se que há uma velocidade - velocidade de escape - acima da qual um corpo se livra da atração gravitacional terrestre).

 

7. A energia de ionização do átomo de hidrogênio (energia para deixar o átomo com carga +e) é de 13,6eV. Para qual valor de temperatura a energia cinética média de translação é igual à energia de ionização? Qual é a energia cinética de translação para os átomos de hidrogênio na temperatura 107K? (esta é a temperatura no interior do Sol).

 

Conceitos da Mecânica Estatística Clássica (Maxwell-Boltzmann). Uso da teoria na matéria  gasosa e sólida – revisão com novo olhar.

 

8.           O que você entende por determinismo da mecânica clássica?

 

9.           Um sistema de N partículas idênticas tem dNV partículas com módulo de velocidade entre v e v+dv, e dNv=avdv com a constante. As velocidades variam entre zero e v0.

a)           Faça um gráfico da função distribuição do módulo das velocidades. Diga em palavras o significado da função distribuição.

b)           Encontre a constante a em termos de N e v0. Justifique o seu procedimento.

c)           Calcule a velocidade média <v>, a raiz quadrada da velocidade quadrática média  a velocidade mais provável em termos de vmp. Diga o significado de cada uma destas velocidades.

d)           Determine a porcentagem de partículas com velocidade entre a o valor médio (<v>) e o mais provável (vmp).

e)           Idem ao item d) entre a velocidade quadrática média (vrqm) e a mas provável (vmp). 

f)            Do ponto de vista da física clássica você poderia, em princípio, conhecer a posição e a velocidade de cada partícula deste sistema em qualquer instante t? Justifique sua resposta.

 

10.        A função distribuição da posição x de partículas de massa m pode ser escrita em duas situações físicas diferentes (i e ii)  das seguintes formas:

situação i: f(x)=Ax, para 0<x<L

f(x)=0,   para outro valor de x

 

situação ii: f(x)=Asen2(px/L), para 0<x<L

f(x)=0,                                   para outro valor de x

 

Para cada um dos dois casos:

(a)         Diga, em palavras, o significado de f(x);

(b)         Determine a constante A, o valor médio de x (<x>) e o desvio padrão de x (s). Justifique seu procedimento;

(c) Faça um desenho de f(x) indicando <x> e  s.

(d) Com a informação sobre a distribuição das posições das partículas, e sabendo que estes sistemas são  bem descritos pela física clássica, você pode dizer qual é a distribuição do módulo das velocidades de cada um dos sistemas? Justifique.

 

11.        Considere um sistema de muitas moléculas cujo único movimento é translacional, sendo e a energia cinética de uma molécula.

a)           Determine, a partir do teorema de Boltzmann, a distribuição de energia deste sistema.

b)           A partir da distribuição de energia determine a energia mais provável das moléculas.

c)           Determine a razão entre a energia média e a mais provável.

d)           A partir da distribuição de energia, determine a distribuição do módulo de velocidades. Esta é a distribuição conhecida como distribuição de Maxwell.

e)           Qual é a distribuição das posições das partículas? Justifique.

 

12.        Num polaróide as moléculas podem oscilar em torno de sua posição de equilíbrio em uma única direção. A energia de cada molécula pode ser dada por:

 onde,

 

x é a distância ao ponto de equilíbrio, m é a massa da molécula e b uma constante conhecida. O sistema está em equilíbrio térmico.

a)           Usando o teorema de Boltzmann determine a função distribuição normalizada da energia () das moléculas na temperatura T e esboce o gráfico  versus E.

b)           Determine a energia mais provável e a energia média das moléculas.

 

13.        Considere o sólido no seu modelo mecânico mais básico, ou seja, de moléculas com movimento de oscilações harmônicas tridimensionais.         

(a)      Usando o teorema de Boltzmann, determine a função distribuição normalizada da energia () das moléculas na temperatura T e esboce o gráfico  versus E.

(b)      Determine a energia mais provável e a energia média do sólido. O resultado da energia média está de acordo com o teorema de eqüipartição de energia? Comente

(c)      Determine o calor específico do sólido neste modelo. Como este resultado se compara com o experimental?

(d)      Qual a diferença em termos de estrutura do sólido condutor e do sólido isolante? O que esta diferença tem como conseqüência na energia do sistema? E no seu calor específico? Compare as previsões do modelo com o resultado experimental.

 

14.        Considere um sistema de N partículas que têm somente duas possíveis energias igualmente prováveis: E1=0 e E2=e.

a)           Escreva a distribuição de energia normalizada. Justifique o seu procedimento.

b)           Determine a energia média <E> e mostre que <E>®0 quando T®0 e que <E>®e/2 quando T®¥.

c)           Determine o calor específico molar a volume constante (cv) deste sistema. Esboce um gráfico de cv versus T.

 

15.         Um sistema é composto por N partículas cujas energias podem ser escritas como E=neo, onde n=0,1,2,....

a)       Determine a energia média do sistema.

b)       Determine o calor específico molar a volume constante..

c)       Determine o calor específico molar no limite de temperaturas muito altas (kT>>eo).

 

16.        Considere um sistema no qual a energia de uma partícula é dada por E=Au2, onde A é uma constante e u é qualquer coordenada ou componente de quantidade de movimento que pode variar de -¥ a +¥. Usando o teorema de Boltzmann:

a)           Escreva a distribuição f(u) devidamente normalizada.

b)           Mostre que a energia média é igual à kT/2.

 Obs. Essa é uma maneira de mostrar o resultado conhecido como teorema de eqüipartição de energia.

 

17.        Considere uma camada de ar de espessura dz e área A próxima à superfície da Terra. A direção vertical está representada pela coordenada z.

a)           Mostre, a partir do teorema de Boltzmann, que a diferença de pressão dP entre as alturas z e z+dz próximas da superfície da Terra (aceleração da gravidade constante = g) com densidade de ar r, é dada por:

dP= - rgdz

b)           Usando a lei dos gases ideais e admitindo uma temperatura constante T mostre que a pressão atmosférica obedece a relação:

P=P0exp(-mgz)/(kT)

onde m é a massa de uma molécula.

 

Cargas na matéria e quantização da carga

 

18.        Quais as principais indicações no começo do século XX que faziam crer que apesar da matéria ser neutra, ela continha cargas de sinais diferentes?

 

19.         Numa experiência de Thomson para a determinação de e/m dos elétrons as placas defletoras têm comprimento de 5 cm, estão a 1,5cm uma da outra e são mantidas a uma diferença de potencial de 50V. Supondo que os elétrons tenham uma energia cinética de 2´103eV, encontre:

a)           A deflexão produzida em um percurso de 5 cm.

b)           A deflexão total na mancha da tela se o feixe percorrer uma distância adicional de 30 cm (região sem nenhum campo).

c)           A intensidade do campo magnético que seria necessária entre as placas defletoras para que não houvesse deflexão.

d)           Diga qual a hipótese sobre a velocidade das diversas partículas usada nessa determinação.

 

20.         Na experiência de Millikan para a determinação da carga do elétron foram obtidos os seguintes resultados: tempo médio de queda da gota (sem campo elétrico)=15,9s para uma distância de 4,0mm e os seguintes tempos médios de subida (na presença de campo elétrico)=36,0s, 17,3s, 24,0s, 11,4s e 7,54s num percurso de 4,0mm para a mesma gota. A diferença de potencial entre as placas do condensador, separadas de 2 cm, foi fixada em 4´103V, a densidade do óleo é igual 0,8g.cm-3 e a viscosidade do ar é 1,81´10-5kg.m-1.s-1.

a)           Calcule o raio e a massa da gota usada na experiência.

b)           Calcule a carga da gota para cada tempo de subida e mostre que a carga é quantizada.

c)           Usando os dados da questão determine a carga do elétron.

 

21.         Um tubo de raios catódicos é colocado em um campo magnético uniforme B com o eixo do tubo paralelo às linhas de força. Dado que os elétrons (carga e, massa me) emergentes da fonte com uma velocidade v fazem um ângulo q com o eixo que passa através da origem O:

a)           Mostre que a trajetória dos elétrons é uma hélice.

b)           Mostre que os elétrons tocarão o eixo novamente em t=2me/Be.

c)           Mostre que a coordenada do ponto tocado é x=2mevcosq/Be.

d)           Mostre que para pequenos valores de q, a coordenada x é independente de q.

e)           O arranjo neste problema é chamado lente magnética. Você saberia justificar esse nome?

f)            Como as trajetórias dos elétrons que passam através da origem em um ângulo q acima do eixo diferem daquelas direcionadas a um ângulo q abaixo do eixo?Justifique.

 

22.        Dois íons positivos com cargas iguais (q) e massas diferentes (m e m’) são acelerados a partir do repouso por uma diferença de potencial V. Depois de aceleradas em V entram numa região do espaço onde há exclusivamente um campo magnético uniforme de intensidade constante B, normal ao plano do movimento dos íons.

(a)         Mostre que se os íons entrarem na região do campo magnético na direção do eixo x positivo, com x=0 na entrada do campo magnético, em cada instante posterior à entrada na região de campo B o valor da coordenada y para uma pequena deflexão dos íons, está relacionada com a coordenada x pela expressão: y=Bx2[q/8mV]1/2.

(b)         Discuta se esse arranjo pode ser usado como um separador de isótopos. Obs: Isótopos são as massas diferentes de um mesmo elemento químico.