FAP153 – MECÂNICA. 5a Lista de Exercícios – novembro/2004

Energia Potencial

1) Um terremoto pode liberar energia suficiente para devastar uma cidade. Onde se encontrava essa energia um instante antes de ocorrer o terremoto?

2) Um pêndulo oscilante acaba parando depois de um certo tempo. Tem-se aí uma violação da lei de conservação da energia mecânica?

3) O cume do Monte Everest encontra-se a 8850 m acima do nível do mar.
a) Qual a energia despendida por um montanhista de 90 kg, a partir do nível do mar e trabalhando contra a gravidade, para alcançar aquela altura?
b) Quantas barras de chocolate de 50 g, cada uma capaz de fornecer 300 kcal, forneceriam energia equivalente a esta? Sua resposta deve sugerir que o trabalho contra a gravidade é uma parte muito pequena da energia despendida mesmo em situações em que o esforço físico é muito grande, como subir uma montanha.

4) Os gráficos ao lado mostram a dependência com a posição de uma força atuando em uma partícula movendo-se ao longo do eixo x, no sentido positivo desde a origem até x = x1. A força é paralela ao eixo x e é conservativa. A magnitude máxima F1 tem o mesmo valor em todos os gráficos. Ordene as situações abaixo de acordo com a variação da energia potencial associada à força, da menor (ou mais negativa) para a maior (ou mais positiva).

 

Conservação da energia mecânica – Energia potencial gravitacional

5) Um pequeno bloco de massa m escorrega ao longo de uma pista sem atrito em forma de aro, como mostra a figura ao lado.
a) Se o bloco parte do repouso no ponto P, qual é a força resultante que atua no bloco em Q.
b) Qual a menor altura do ponto P que permite ao bloco passar pelo ponto M sem descolar da pista?

6) (RHK 12-P.2). Uma bola de massa m está amarrada a uma das extremidades de uma haste muito leve de comprimento L. A outra extremidade da haste está apoiada num pino, de modo que a haste pode mover-se num plano vertical. A haste é colocada horizontalmente, conforme a figura ao lado, e empurrada para baixo, de modo que gira em torno do pino e alcança a posição vertical com velocidade zero. Qual a velocidade inicial transmitida à bola?

7) Um bumerangue com 125 g é arremessado de uma altura de 1,06 m acima do solo com velocidade igual a 12,3 m/s. Quando ele alcança a altura de 2,32 m, sua velocidade é 9,57 m/s.
a) Qual é o trabalho realizado sobre o bumerangue pela força da gravidade?
b) Quanta energia cinética foi perdida devido à resistência do ar? Ignore o giro do bumerangue.

8) (RHK 12-E.6, ligeiramente modificado) Um homem de 110 kg pula sobre uma rede de salvamento situada 10 m abaixo e a rede estica 1,3 m antes de parar e jogá-lo no ar. Qual a energia potencial da rede esticada, supondo não haver dissipação de energia por forças não-conservativas?

9) (RHK 12-P.8) O fio da figura tem comprimento L=120 cm e a distância d ao pino fixo P é 75,0 cm . Quando se abandona a bola a partir do repouso na posição mostrada, ela oscilará ao longo do arco tracejado. Qual será sua velocidade:
a) quando alcançar o ponto mais baixo do movimento?
b) quando alcançar o ponto mais elevado depois que o fio encostar-se no pino?

10) (RHK 12-P.9) Mostre que a condição para a bolinha do pêndulo do exercício anterior completar uma volta inteira ao redor do pino é d > 3L/5. Dica: Determine que velocidade a bolinha deve ter no alto da trajetória para que o fio não afrouxe.

11) Uma massa puntiforme m parte do repouso e desliza sobre a superfície de uma esfera, sem atrito, de raio r. Meça os ângulos a partir da vertical e a energia potencial a partir do topo. Ache:
a) A variação de energia potencial da massa com o ângulo;
b) a energia cinética como função do ângulo,
c) as acelerações radial e tangencial em função do ângulo e
d) o ângulo ? em que a massa abandona a esfera.

12) (RHK 12-E.9) Um carro de montanha russa, de massa m, inicia seu movimento no ponto A com velocidade v0, como mostra a figura, movendo-se sem atrito com a pista e com o ar. Suponha que ele possa ser considerado como uma partícula e que permaneça sempre sobre o trilho.
a) Qual será a velocidade do carro nos pontos B e C?
b) Que desaceleração constante é necessária para detê-lo no ponto E se ele começar a ser freado no ponto D?

13)Uma bolinha amarrada a um fio de comprimento l = 1 m gira num plano vertical. Qual deve ser a velocidade mínima da bolinha no ponto mais baixo da trajetória para que ela descreva o círculo completo? Com a velocidade satisfazendo esta condição verifica-se que as tensões entre os pontos, o mais baixo e a 90º desse ponto diferem em 4,5 N. Qual é a massa da bolinha?


14) Um pêndulo é formado por um corpo de massa m = 1 kg pendurado no teto por um fio de comprimento 1 m. O corpo é deslocado da posição de equilíbrio até que o fio fique esticado na direção horizontal. Abandonando o corpo dessa posição calcule:
a) O trabalho da força que o fio aplica no corpo (tensão).
b) O trabalho da força peso.
c) De que posição angular (medida em relação à vertical), o corpo deve ser abandonado de forma de atingir o ponto mais baixo da trajetória com velocidade v = 2 m/s?

 

15) No sistema da figura, m1 = 10 kg e m2 = 2 kg. As massas da roldana e do fio são desprezíveis. Os blocos partem do repouso e passam a se movimentar, sem atrito. O bloco 1 leva 2 segundos para atingir o solo. Determinar para o bloco 1:
a) aceleração;
b) velocidade com que atinge o solo;
c) o trabalho realizado (por quem?) para levar esse bloco de sua posição inicial até o solo.

16) Um pequeno anel A com 1,0 kg de massa parte do repouso em P e desliza sem atrito na haste curvilínea, fixa no plano vertical, conforme mostrado na figura ao lado. Determine a velocidade com a qual o anel bate no ponto Q quando a força que age no anel é constante ao longo de toda a trajetória, com módulo 10 N numa direção que forma 30o com a horizontal.
17) Um pequeno bloco, de massa m, é abandonado no topo de uma superfície semi-esférica, de raio R, sobre a qual desliza sem atrito, como mostra a figura.
a) Determine a velocidade do bloco quando ele está passando pela posição angular?
b) Calcule a força de contato (normal), entre a superfície e o bloco, N(q).
c) Calcule o ângulo limite, qL, a partir do qual perde contato com a superfície, a que altura corresponde esse ponto?

18) Um pequeno objeto de massa m é solto da borda de um recipiente hemisférico de raio R, conforme a figura ao lado. Desprezando atritos, calcule: a) a velocidade do objeto no fundo do recipiente; b) a força do recipiente sobre o objeto (normal), quando ele está no fundo do recipiente; c) a força do recipiente sobre o objeto (normal), quando ele está a uma altura R/2 do fundo do recipiente.

19) (RHK 12-P.4) Uma corrente é mantida sobre uma mesa sem atrito, ficando um quarto do seu comprimento dependurado na borda, veja figura ao lado. O comprimento da corrente é L e sua massa m. Qual o trabalho necessário para puxar a parte dependurada para cima do tampo?


Conservação da energia mecânica – Energia potencial elástica

20) (RHK 12-E.10) A figura à esquerda mostra como a força da mola de um revolver de brinquedo varia em função da compressão ou distensão. A mola é comprimida 5,5 cm, lançando uma rolha com 3,80 g.
a) Qual a velocidade da rolha, que se solta quando a mola passa pela sua posição de equilíbrio?
b) Suponha agora que a rolha fique agarrada à mola, que se distende 1,50 cm além da sua posição de equilíbrio antes que a rolha se separe dela. Neste caso, qual a velocidade da rolha ao desprender-se?

Conservação da energia mecânica – Combinação das energias potenciais gravitacional e elástica

21) (RHK 12-E.19) Duas crianças atiram bolinhas de cima de uma mesa para uma caixinha colocada no chão, utilizando um brinquedo de mola. A caixinha está a 2,20 de mesa, mas a altura da mesa é desconhecida. Kiko comprime a mola em 1,10 cm, o que faz a bolinha cair 27,0 cm antes da caixa. Qual deve ser a compressão da mola para Biba atingir o alvo? Justifique sua resposta.

22) (RHK 12-E.18) Um bloco de 2 kg cai de 44 cm sobre uma mola de constante elástica k=200 N/m, conforme figura ao lado. Determine a compressão máxima produzida na mola.

23) Um bloco de massa m = 2,0 kg é largado de uma altura h = 7,5 m, sobre uma mola de constante k = 1600N/m. Determine:
a) O valor máximo da compressão da mola;
b) A velocidade máxima atingida pelo corpo.

24) (RHK 12-P.3) Uma mola ideal, sem massa, pode ser comprimida 2,33 cm pela força de 268 N. Um bloco de massa m = 3,18 kg no alto de um plano inclinado em q= 32o, conforme a figura ao lado, é abandonado para escorregar pelo plano com velocidade inicial nula. O bloco pára momentaneamente depois de ter comprimido a mola em 5,48 cm.
a) Que distância o bloco percorreu plano abaixo, entre ser abandonado e comprimir a mola ao máximo? (deixe claro se sua resposta inclui, ou não, a compressão da mola)
b) Qual a velocidade do bloco pouco antes de chocar-se com a mola?

25) (RHK 12-E.15) Um bloco de 1,93 kg está encostado numa mola comprimida, situada numa rampa sem atrito e inclinada em 27,0o conforme a figura ao lado. A constante elástica da mola é 20,8 N/cm. Uma força externa comprime a mola em 18,7 cm adicionais, quando então o bloco é solto. Que distância o bloco percorre ao longo da rampa antes de parar? Essa distância deve ser referida à posição do bloco imediatamente antes de ser largado.

Conservação da energia mecânica – outras formas de energia potencial


26) HRK 8.40. Uma partícula de massa 2,0 kg move-se ao longo do eixo x numa região em que a energia potencial U(x) varia conforme a figura ao lado. Quando a partícula se encontra em x=2,0 m, sua velocidade é -1,0 m/s.
a) Calcule a força atuante na partícula nessa posição.
b) Entre que limites ocorre o movimento da partícula?
c) Qual a velocidade da partícula quando estiver em x=7,0 m?



27) O diagrama abaixo mostra a energia potencial de uma partícula movendo-se ao longo do eixo x.
a) Identifique os pontos de equilíbrio e classifique-os (estáveis ou instáveis).
b) Identifique os trechos em que a força F(x) tem o sentido positivo e os trechos que a força tem o sentido negativo.
c) Descreva qualitativamente o movimento da partícula quando a energia mecânica for igual a E1 e quando for igual a E2.

28) A figura ao lado mostra um átomo de massa m à distância r de outro átomo de massa M em repouso, sendo m<<M. O gráfico ao lado representa a função energia potencial U(r) para várias posições do átomo mais leve. Descreva o movimento desse átomo
a) se a energia mecânica total for maior que zero, como E1 representada no gráfico e,
b) se ela for menor que zero, como em E2.
Para E1=1,0.10-19 J e r=0,30 nm, determine:
c) o valor da energia potencial;
d) a energia cinética e o módulo e o sentido da força atuante no átomo mais leve.


29) Uma partícula de massa m = 4 kg move-se ao longo do eixo x sob a influência de uma única força descrita por F = -8x3, onde F é dada em newtons e x em metros. Considere x=0 correspondente ao zero de energia potencial e que nesse ponto a partícula tem uma velocidade igual a 2 m/s, no sentido positivo. Determine:
a) a energia potencial U(x) e represente-a em um gráfico;
b) a energia cinética em x=0 e
c) a energia mecânica total da partícula.
d) Construa um gráfico da energia cinética K em função da posição, K(x).
e) Determine os pontos de retorno.
f) Descreva qualitativamente o movimento da partícula.

30) A força de atração entre o próton positivamente carregado e o elétron negativamente carregado no átomo de hidrogênio é dada por: ,sendo e a carga do elétron, k uma constante e r a distância entre as duas partículas. Suponha que o próton esteja fixo e que o elétron, que se movia inicialmente em um círculo de raio r1 em torno do próton, repentinamente passa para uma outra órbita circular de raio r2 menor (veja figura).
a) Calcule a variação da energia cinética do elétron, considerando que F é a força resultante responsável pelo movimento circular.
b) Calcule a variação na energia potencial do átomo utilizando a relação entre força e energia potencial.
c) De quanto variou a energia total do átomo nesse processo? (Essa energia é freqüentemente perdida sob a forma de radiação).
31) Uma partícula move-se ao longo do eixo x em uma região na qual a energia potencial U(x) varia como na figura abaixo.
a) Faça um gráfico quantitativo da força F(x) que atua na partícula, como função da distância, utilizando a mesma escala da figura.
b) Esboce, diretamente sobre a figura, o gráfico de sua energia cinética K(x).

32) Uma partícula de massa m executa um movimento unidimensional sob a ação de uma força conservativa correspondente à energia potencial cujo gráfico está esquematizado abaixo.

Obtenha a força F(x) que atua sobre a partícula e esboce o gráfico de F contra x.
a) Descreva qualitativamente o movimento de uma partícula cuja energia mecânica seja E1 =2Uo e esteja movendo-se da esquerda para a direita, vinda de um ponto x < ?x0. Qual é o valor máximo do módulo da velocidade e para que valor de x a velocidade é máxima?
b) Descreva qualitativamente o movimento de uma partícula cuja energia mecânica seja E2=U0/2. Qual o valor máximo do módulo da velocidade e para que valor de x a velocidade é máxima?
c) No movimento com energia total igual a E2=U0/2, obtenha os valores das coordenadas dos pontos de retorno.
d) Ainda no caso E2=U0/2, calcule o período de oscilação. Neste item você pode precisar da integral:

onde C é uma constante.

33) (RHK 12-P.18 modificado) A interação entre nucleons (prótons e nêutrons, os constituintes dos núcleos) pode ser representada, com razoável precisão, pelo potencial de Yukawa, . As constantes e valem cerca de 1,5.10-15 m e 50 MeV, respectivamente.
a) Determine a força de atração em função da distância e dos parâmetros do potnecial.
b) Para mostrar o alcance curto dessa força, calcule seus valores em , e e esboce o gráfico.
c) Calcule a força que age sobre o nêutron que se encontra a uma distância 2r0 de um próton.
d) Se em um dado núcleo 2r0 é a maior distância possível entre o próton e o nêutron, calcule a energia mecânica do nêutron em eV. Justifique. (1 eV = 1,6.10-19 J)

34) O gráfico ao lado representa a energia potencial de uma partícula de massa m = 2 kg, sob a ação de uma força conservativa F(x) em função de sua posição x.
a) Quais são os pontos de equilíbrio? Classifique segundo sua estabilidade.
b) A energia mecânica total da partícula é 5 J. Determine as regiões permitidas para o movimento ao longo do eixo x.
c) Determine a energia cinética da partícula (Et = 5 J) em x = 0,4 m e x = 20 m.
d) Determine o trabalho realizado por F(x) para deslocar um corpo de x = 1,5 m até x = 20 m.
e) Se a partícula se encontra em x = 1,5 m com energia cinética nula, qual a energia mínima que deve ser fornecida a ela para que possa atingir x = 20 m? Quanto seria sua energia cinética em x = 20 m?

35) Uma partícula pode se deslocar ao longo do eixo x, com energia potencial dada por , com x medido em metros.
a) Em quais posições U(x) é nula?
b) Em quais posições, U(x) apresenta valores extremos (pontos de máximo e mínimo)?
c) Faça um gráfico indicando os valores de U(x) de 1 em 1 m a partir de x = - 3 m, destacando ainda as posições onde U(x) apresenta valores extremos.
Se o corpo for abandonado em x = 1 m,
d) Qual será a intensidade da força que agirá inicialmente sobre a partícula?
e) Em que sentido se deslocará o corpo?
f) Qual a energia total da partícula (cinética + potencial)?
g) Qual o maior valor da energia cinética que esse corpo pode atingir?
h) Em que posições a partícula pára, isto é: onde a sua energia cinética é nula?
i) A partícula é colocada agora, em repouso em x = 0 m e imediatamente recebe uma pancada que corresponde a uma energia de 1 J. Descreva seu movimento subseqüente.

36) Uma partícula move-se ao longo de uma linha em uma região onde a energia potencial varia como na figura ao lado.
a) Esboce o gráfico da força F(x) que atua na partícula. Indique no gráfico a escala aproximada para F(x).
b) Se a partícula tem energia total constante de 4 J, esboce o gráfico de sua energia cinética.
c) Descubra uma função matemática que descreva U(x).
d) Determine a força F(x) a partir de U(x) e compare com o resultado obtido em a). Verifique se a aproximação está coerente com o resultado matemático.

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