Exercícios

1.
Um projétil de massa $m=40\;\mathrm{g}$ se move com velocidade $v=1000\;\mathrm{m/s}$. Qual é o comprimento de onda de de Broglie associado a ele? Por que seu caráter ondulatório não se manifesta? Qual a relação entre este comprimento e as dimensões do projétil?

2.
O comprimento de onda da luz amarela do sódio é $5.890\;\mathrm{{\AA}}$. Qual é a energia do fóton? Qual seria a energia cinética de um elétron com o mesmo comprimento de onda?

3.
Encontre a expressão para o comprimento de onda de de Broglie associado a nêutrons em função da sua energia cinética expressa em eV. Um ``nêutron térmico'' tem energia cinética $K=\frac{3}{2}k_\mathrm{B}T$, com $T=300\kelvin$. Qual é o comprimento de onda de de Broglie de um nêutron térmico?

Dados:
massa de repouso do nêutron: $m_nc^2=939.6\;\mathrm{MeV}$,
constante de Boltzmann: $k_\mathrm{B}=8.617\times10^{-5}\;\mathrm{eV/K}$.

4.
Considere uma partícula de massa de repouso $m_0$ se movendo com uma velocidade $v=\beta c$ $(\beta<1)$. Utilize as expressões relativísticas para o momento e a energia.
a)
Tome a energia da partícula como a energia relativística total. Compute a velocidade de fase da onda de de Broglie associada, $v_f$, e verifique que $v_f>c$. Calcule a velocidade de grupo, $v_g$ e mostre que $v_g=v$.
b)
Subtraindo a energia de repouso, tome a energia da partícula como sua energia cinética. Compute a velocidade de fase neste caso e compare com a velocidade da partícula. Obtenha a velocidade de grupo.

5.
Na experiência de Davisson e Germer elétrons são difratados por um cristal de níquel. O espaçamento entre os planos atômicos considerados é $d=0.91\;\mathrm{{\AA}}$. Um máximo de difração é observado em $\theta=50{}^\mathrm{o}$ para elétrons acelerados por uma diferença de potencial $V=54\;\mathrm{eV}$ (ver Fig. 3.2 do livro texto). Este é o máximo de difração de primeira ordem.
a)
Mostre que os máximos de difração de ordem superior não podem ocorrer neste experimento.
b)
Encontre o ângulo correspondente ao máximo de primeira ordem se o potencial acelerador é alterado para $V=60\;\mathrm{eV}$.
c)
Qual o potencial acelerador necessário para que se observe um máximo de difração de segunda ordem para $\theta=50{}^\mathrm{o}$?

6.
Elétrons incidentes sobre um cristal sofrem refração devido a um potencial atrativo de aproximadamente $15\;\mathrm{V}$ dos íons do cristal. Se um feixe de elétrons com energia cinética de $100\;\mathrm{eV}$ incide sob um ângulo de $45{}^\mathrm{o}$, qual é o ângulo de refração?
Sugestão: Para resolver o problema, mostre que a condição de máximo de interferência para as ondas refratadas se escreve

\begin{displaymath}\frac{\sin\theta_i}{\lambda_i}=\frac{\sin\theta_r}{\lambda_r},\end{displaymath}

em que $\theta_i$ e $\theta_r$ são os ângulos de incidência e refração, e $\lambda_i$ e $\lambda_r$ os comprimentos de onda nas regiões correspondentes.
7.
O espaçamento inter-planar principal em um cristal de $\mathrm{KCl}$ é $d=3,14\;\mathrm{{\AA}}$. Compare os ângulos de reflexão de Bragg de primeira ordem em tais planos para elétrons e para raios-X com energia de $40\;\mathrm{keV}$.
8.
Um elétron com energia cinética de $1\;\mathrm{MeV}$ deixa um rastro numa câmara de bolhas. O rastro é constituído por uma série de gotas d'água, cada uma com um diâmetro de cerca de $10^{-5}\;\mathrm{cm}$. Mostre, a partir da razão entre a incerteza do momento transverso e o momento do elétron, que a trajetória não deve diferir apreciavelmente de uma linha reta.
9.
Considere um elétron confinado a um átomo com cerca de $1\;\mathrm{{\AA}}$ de diâmetro. Estime a energia cinética deste elétron através do Princípio da Incerteza, e compare com a energia de ligação típica para o elétron num átomo.
10.
Considere um elétron no interior de um núcleo, cujo diâmetro é da ordem de $10^{-12}\;\mathrm{cm}$, e estime a sua energia cinética. Compare com a energia de ligação dos núcleons $(\sim8\;\mathrm{MeV}/\mathrm{n{\'u}cleon})$. Faça o mesmo para um nêutron confinado a um núcleo.
11.
Um garoto no alto de uma escada de altura $H$ está jogando bolas de gude (de massa $m$) em um buraco no solo. Para atingi-la, ele utiliza um equipamento capaz da melhor precisão possível. Mostre que as bolas de gude vão errar o alvo por uma distância média da ordem de $(\hbar/m)^{1/2}(H/g)^{1/4}$, onde $g$ é a aceleração da gravidade. Usando valores razoáveis para $m$ e $H$, estime esta distância.

V. Bindilatti - 2003-10-16