Fap0184 Prova 2 : 04/12/2002
Resultados

H20 : modelo simples Questão 1. : Um modelo simples para uma molécula de H2O é mostrado ao lado. Os dois prótons tem carga positiva e se repelem pela força de Coulomb. O ângulo de equilíbrio entre as duas ``pernas"  H--O é 104°. Considerando este modelo e usando sua intuição física, faça um desenho esquemático da curva de energia potencial em função do ângulo θ para 0 ≤ θ  ≤ 2π. Coloque uma escala no eixo horizontal, mas não no eixo de energia.

Discussão :  O que estava procurando era mais ou menos o seguinte :
energia potencial h2o esquemático

Prestei atenção em vários characterísticos dos seus esboços : 1. U(θ) tem um mínimo perto de θ=104
°? 2. U(θ) vai para infinito para θ = 0 e θ = 2π? 3. U(θ) é simétrico em volta de θ=π? 4. Não há descontinuidades na derivada da curva?

lennard-jones Questão 2. : O gráfico ao lado é a energia potencial correspondente a uma força sobre uma partícula (massa m=1 kg).
  1.  Faça um desenho esquemático da força sobre a partícula contra a posição  (sem escalas nos eixos.)
  2. Qual é a posição de equilíbrio (F = 0)?
Começando com a partícula parada na posição de equilíbrio, adicionamos 0,5 J de energia ao sistema. A partícula começa fazer um movimento periódico.
  1. Quais os máximos e mínimos da posição e velocidade?
  2.  Faça desenhos esquemáticos das funções posição e velocidade contra o tempo.
Discussão : A força exercida sobre a partícula é -dU/dx ( menos a inclinação, tangente, derivada da energia potencial em relação à posição). Em x ≈ 1.1 m a derivada e a força são zero (mínimo da energia potencial). Para x < 1.1 m,  a derivada é negativo e a força positiva. Dá para ver que a derivada continua subindo quando x diminui ou seja : não é constante para x pequeno. Para x > 1.1, a força é negativa, mas volta para zero para x grande.

Quando adicionamos 0,5 J de energia, a partícula vai fazer um movimento periódico entre ≈ 1,02 e 1,38 m. A velocidade máxima é dado pelo fato que a energia cinética é a energia total - energia potencial, que é máximo em
x ≈ 1.1 m : 0,5 J. Daí segue que em x ≈ 1.1 m, v = ±sqrt(2 0,5 J / 1 kg) = ±1 m/s. Pode dizer que o mínimo da velocidade é -1 m/s,  ou que o mínimo é 0 m/s, dependendo da sua intepretação da palavra "velocidade".

Nos gráficos esquemáticos as funções posição e velocidade contra o tempo, procurei um reconhecimento do fato que a velocidade para 
x < 1.1 m muda mais rápido do que para x > 1.1 m porque a força é maior para  x < 1.1 m. Os gráficos x(t) e v(t) portanto não são simétricos, como uma função senoidal.

Obs. : Ninguém acertou este questão. Isto explica porque as notas desta prova são baixos. Gostaria de poder dizer que as pessoas que assistiram às aulas acertarem, mas duvido que é verdade. Um erro comum era dizer Upot = Ecin para achar a velocidade máxima. Não é assim: são as mudanças de energia potencial que igualam as mudanças de energia cinética se Etot é conservada.  Outro erro era achar que a energia potencial muda 0,5 J quando adicionamos 0,5 J  ao sistema. Também não é verdade : a energia potencial corresponde a uma força que age sobre a partícula. A força e energia potencial não mudam quando adicionamos energia, o que muda é o movimento e as equações horárias. Emfim, certamente não dei atenção suficiente a estas dificuldades na aula, porque não imaginei o que eram as dificuldades.

Questão 3. : Uma pessoa de 80 kg subiu cinco andares de um prédio sem elevador com uma máquina de lavar roupa (100 kg). Cada andar tinha quatro metros. Ele precisou beber meio litro de água para repor o que perdeu transpirando.
  1. Quanto trabalho realizou? (g = 10 m/s2)
  2. Se ele não tivesse transpirado, nem perdido calor de outra maneira, calcule em quanto teria aumentado a temperatura de seu corpo. Suponha que o calor específico do corpo é igual ao da água (1 cal/K g). O calor latente de vaporização de água é 580 cal/g.
  3. Uma dieta típica tem valor calórico de 5 kcal/g. Quantos gramas era preciso comer para repor a energia perdida?
Discussão :  O trabalhou que realizou é mgh = 180 kg 10 m/s2 20 m = 36 kJ = 8,6 kcal. Isto é energia mecânica que saiu do corpo dele: a energia interna dele diminui. Mas enquanto isso, calor (energia térmica) era gerado entro do corpo dele. Este calor tinha que ser removida para evitar esquentar o corpo. O mecanismo era evaporação de suor : perdeu 500g 580 cal/g = 290 kcal deste maneira. Se não tivesse perdido este calor, a temperatura do corpo dele teria aumentado em 290 kcal / (80 kg 1 cal / K  g) = 3,6 K (Usei Kelvin em vez de °C). Para repor a energia perdida (energia térmica e mecânica) teria que como (290 kcal + 8,8 kcal)/ (5 kcal /g) =  59,7 g de comida.

Questão 2. : Os dois gráficos representam duas funções de onda que descrevam dois estados de um elétron em uma caixa de comprimento L.
  1. Qual dos dois estados corresponde a uma energia maior do elétron?
  2. Desenhe (esquematicamente, sem escala nos eixos) a probabilidade de achar o elétron em função da posição x para o estado de maior energia.
elétron caixa 1 elétron caixa 2
Discussão : O que era dado era a função de onda em função da posição. Portanto, só pode dizer algo sobre quanto rápido a função de onda varia no espaço : o comprimento de onda. B tem um comprimento de onda menor (varia mais rápido no espaço) e representa um estado com velocidade maior, segundo a relação de de Broglie entre as propriedades da função de onda e as propriedades da partícula. Estado B deve então ter uma energia cinética maior (dentro da caixa, a energia potencial é zero).

Vi muita gente dizer que B tem uma frequência maior, mas como sabiam disso? ψ era dado em função da posição, não em função do tempo. O raciocínio que a frequência é o comprimento de onda são relacionados por λ
f =v está errado, porque este relação vale para ondas comums, não para funções de onda na mecânica quântica (pelo menos não funções de onda que representam um elétron).  A confusão é entre a velocidade de onda num meio (ondas comums) e a velocidade da partícula (na mecânica quântica). [nota 1]

A probabilidade de achar o elétron na posição entre x e x+Δx, é o quadrado da função de onda:probabilidade de achar um elétron no estado n=2 em posição x
Note que o integral em baixo da curva de x=0 até x=L  é 1 (a probabilidade de achar o elétron em qualquer posição dentro da caixa é 1). Não vai achar o elétron na região no meio da caixa (quando está neste estado)

Questão 5 : Qual nota acha que tirou? (não incluindo esta pergunta, de 0 até 9,5).

Discussão :  O gráfico abaixo mostra a correlação entre a minha nota e a nota dos alunos. As notas da segunda prova são os pontos vermelhos.

correlação entre a minha nota e a nota dos alunos

Parece que a correlação não melhorou muito  : foi de 0,3 na primeira prova, para 0,4 na segunda. Este vez, aumentei o intervalo para ganhar a nota (0,5) para 1,5.

[nota 1] Para uma partícula livre (funções de onda ψ senoidais), λ e f são relacionados assim : a energia cinética é
1/2mv2 = 1/2m(h/mλ)2 = 1/2h2/mλ2.
Este energia é igual hf segundo a relação entre a frequência da função de onda e a energia da partícula. Daí :
f = 1/2h/mλ2
ou seja, fλ = 1/2v para funções de ondas que descrevem os estados de um elétron (livre, com velocidade determinada), com v a velocidade do elétron, mas note que v depende do estado! [volta]