Princípio da indistinguibilidade quântica e suas conseqüências

Na Mecânica Clássica mesmo partículas idênticas são distinguíveis uma vez que se pode seguir a trajetória de cada partícula e, assim, saber em cada instante de que partícula se trata. Na Mecânica Quântica isto não é possível. Num sistema com, por exemplo, dois elétrons, é impossível dizer qual elétron é qual.

Na linguagem associada às auto-funções da seção anterior, $ \psi_{{\alpha_1},{\alpha_2}}(\mathbf{r}_1,\mathbf{r}_2)$ significa: um estado em que o elétron 1 se encontra no estado $ \psi_{\alpha_1}$ e o elétron 2 se encontra no estado $ \psi_{\alpha_2}$. Esta linguagem, claramente, não faz sentido dado que os elétrons são indistinguíveis. Na linguagem apropriada um tal estado seria descrito por: um estado com um elétron no estado $ \psi_{\alpha_1}$ e um elétron no estado $ \psi_{\alpha_2}$.

Para escrever as funções de estado de duas partículas precisamos necessariamente das coordenadas de ambas as partículas e tais coordenadas são atribuídas a partículas distintas. Entretanto a função matemática resultante deve satisfazer a noção de que as partículas são indistinguíveis. As funções de onda em si não são fisicamente acessíveis, mas sim o seu módulo quadrado, ou as densidades de probabilidade. Assim, o princípio de indistinguibilidade quântica requer que a densidade de probabilidade associada a um estado de duas partículas idênticas deve ser descrita por uma função que não se altere quando se trocam as coordenadas das duas partículas. Vamos usar o símbolo $ \mathbf{q}$ para indicar as coordenadas de uma partícula. Neste símbolo podemos incluir também a coordenada relacionada com o spin, como veremos mais adiante. Assim as funções de estado $ \psi(\mathbf{q}_1,\mathbf{q}_2)$ devem ser tais que

$\displaystyle \vert\psi(\mathbf{q}_2,\mathbf{q}_1)\vert^2=\vert\psi(\mathbf{q}_1,\mathbf{q}_2)\vert^2,
$

ou seja a densidade de probabilidade deve ser simétrica em relação à troca das coordenadas das partículas.

Este tipo de requisito pode ser satisfeito por dois tipos de função, a saber
funções simétricas em relação à troca das coordenadas,

$\displaystyle \psi_S(\mathbf{q}_2,\mathbf{q}_1)=+\psi_S(\mathbf{q}_1,\mathbf{q}_2),
$

e funções anti-simétricas em relação à troca

$\displaystyle \psi_A(\mathbf{q}_2,\mathbf{q}_1)=-\psi_A(\mathbf{q}_1,\mathbf{q}_2).
$

Em ambos os casos o módulo da função permanece o mesmo, mas no segundo caso a função tem o sinal invertido quando as coordenadas das partículas 1 e 2 são trocadas.

Estes requisitos se aplicam também a funções que descrevem estados de sistemas com mais de duas partículas. As condições se aplicam à troca das coordenadas de qualquer par de partículas idênticas.


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