Duas partículas no mesmo estado orbital

Se $ n_1=n_2=n$ a função produto é simétrica em relação à troca das partículas:

$\displaystyle \psi_{nS}(x_1,x_2)=\psi_n(x_1)\psi_n(x_2)=\psi_{nS}(x_2,x_1).$

Se as duas partículas são bósons, a função de spin deve também ser simétrica.

Se as duas partículas são férmions, a função de spin deve, necessariamente, ser anti-simétrica. No caso dos elétrons, de spin 1/2, dizemos que os elétrons têm spin trocado. A função de spin tem que ser o singleto $ \chi_{\uparrow\downarrow}$ e a função total

$\displaystyle \psi(x_1,\sigma_1,x_2,\sigma_2)=\psi_n(x_1)\psi_n(x_2)\chi_{\uparrow\downarrow}(\sigma_1,\sigma_2).$

Para ocupar o mesmo estado orbital os dois elétrons devem necessariamente estar no estado anti-simétrico de spin.

Nas figuras seguintes mostramos as densidades de probabilidades espaciais para os estados em que as duas partículas se encontram no mesmo estado orbital do poço infinito com $ n=1$ e $ n=2$. Observe que o sistema é unidimensional. Os dois eixos do plano horizontal nos gráficos a seguir representam as coordenadas de cada partícula, $ x_1$ e $ x_2$. Na diagonal que vai do ponto $ (-0.5,-0.5)a$ ao ponto $ (+0.5,+0.5)a$, $ x_1=x_2$, ou seja, os pontos sobre esta diagonal representam as duas partículas na mesma localização dentro do poço unidimensional.

\includegraphics[width=0.75\textwidth]{S1}
Densidade de probabilidade para as duas partículas no primeiro estado do poço 1D. A função de onda orbital é $ \psi_{1S}(x_1,x_2)=\psi_1(x_1)\psi_1(x_2)$.
O valor esperado da distância entre as duas partículas é $ \left\langle{\vert x_1-x_2\vert}\right\rangle =0.2067a$.

\includegraphics[width=0.75\textwidth]{S2}
Função de onda para as duas partículas no segundo estado estado do poço 1D: $ \psi_{2S}(x_1,x_2)=\psi_2(x_1)\psi_2(x_2)$.
\includegraphics[width=0.75\textwidth]{S2sq}
Densidade de probabilidade para a combinação simétrica do segundo estado: $ \vert\psi_{2S}(x_1,x_2)\vert^2=\vert\psi_2(x_1)\psi_2(x_2)\vert^2$.
O valor esperado da separação entre as duas partículas é $ \left\langle{\vert x_1-x_2\vert}\right\rangle =0.3016a$.
vbindilatti@if.usp.br - 2005-05-04