Os harmônicos esféricos

Assim, as funções $ Y(\theta,\phi)$ são rotuladas pelos dois números quânticos $ \ell$ e $ m$. Estas funções são chamadas de harmônicos esféricos e a sua forma geral é:

$\displaystyle Y_{\ell,m}(\theta,\phi)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}P_{\ell,m}(\cos\theta)\mathrm{e}^{im\phi},$

onde

$\displaystyle \ell=0,1,2,3,\dots, \quad\textrm{e}\quad m=-\ell, -(\ell-1), \dots, (\ell-1), \ell.$

Para cada $ \ell$ há, portanto, $ 2\ell+1$ valores possíveis para $ m$.

Note o seguinte: na obtenção de $ g(\phi )$ a condição de contorno não impunha nenhuma restrição ao valor de $ m$, contanto que este fosse um número inteiro. Mas o valor de $ m$ também entra na equação para $ f(\theta )$ e determina que soluções fisicamente aceitáveis só existam para $ \ell\geq\vert m\vert$. Assim $ m$ restringe $ \ell$. Entretanto, neste contexto, o número quântico $ \ell$ é o que vai determinar as soluções da equação radial, onde o $ m$ nem sequer entra. Por causa disso, escolhemos $ \ell$ como um inteiro não negativo arbitrário e isto limita os valores possíveis de $ m$. É claro que as duas maneiras de escrever as restrições sobre $ \ell$ e $ m$ são equivalentes.

As expressões para os harmônicos esféricos correspondentes a $ \ell=0, 1, 2$ e $ 3$, devidamente normalizados, estão listados na Tabela , bem como a representação num gráfico polar de $ \vert Y_{\ell ,m}\vert^2$. Na tabela, note que os sinais das funções para $ m$ e $ -m$ são invertidos. Esta é uma convenção que não tem nenhuma conseqüência física, uma vez que o sinal da função de onda é irrelevante.

Tabela 1: Os primeiros harmônicos esféricos. As figuras são gráficos polares num plano qualquer que passa pelo eixo vertical $ (z)$. A mesma escala se aplica a todas as funções representadas, de forma que os valores relativos de $ \vert Y_{\ell ,m}\vert^2$ podem ser obtidos diretamente das figuras. Lembre-se que nesta representação o valor da função em $ \theta $ é dado pela distância desde o ponto até a origem.
\includegraphics[scale=0.25]{Y00}
$ Y_{0,0}=\sqrt{\frac{1}{4\pi}}$
\includegraphics[scale=0.25]{Y10}
$ Y_{1,0}=\sqrt{\frac{3}{4\pi}}\cos\theta$
       
\includegraphics[scale=0.25]{Y11}
$ Y_{1,\pm1}=\mp\sqrt{\frac{3}{8\pi}}\sin\theta\mathrm{e}^{\pm i\phi}$
\includegraphics[scale=0.25]{Y20}
$ Y_{2,0}=\sqrt{\frac{5}{16\pi}}\left(3\cos^2\theta-1\right)$
       
\includegraphics[scale=0.25]{Y21}
$ Y_{2,\pm1}=\mp\sqrt{\frac{15}{8\pi}}\sin\theta\cos\theta\mathrm{e}^{\pm i\phi}$
\includegraphics[scale=0.25]{Y22}
$ Y_{2,\pm2}=\mp\sqrt{\frac{15}{32\pi}}\sin^2\theta\mathrm{e}^{\pm 2i\phi}$
       
\includegraphics[scale=0.25]{Y30}
$ Y_{3,0}=\sqrt{\frac{7}{16\pi}}\cos\theta\left(5\cos^2\theta-3\right)$
\includegraphics[scale=0.25]{Y31}
$ Y_{3,\pm1}=\mp\sqrt{\frac{21}{64\pi}}\sin\theta\left(5\cos^2\theta-1\right)\mathrm{e}^{\pm i\phi}$
       
\includegraphics[scale=0.25]{Y32}
$ Y_{3,\pm2}=\mp\sqrt{\frac{105}{32\pi}}\sin^2\theta\cos\theta\mathrm{e}^{\pm 2i\phi}$
\includegraphics[scale=0.25]{Y33}
$ Y_{3,\pm3}=\mp\sqrt{\frac{35}{64\pi}}\sin^3\theta\mathrm{e}^{\pm 3i\phi}$

vbindilatti@if.usp.br - 2005-03-18