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Mecânica Matricial

O físico alemão Werner Heisenberg (1901-1976) desenvolveu uma linguagem matemática apropriada para lidar com fenômenos quânticos. O método partia do agrupamento de todas as freqüências emitidas por dado sistema quântico. Inspirava-se nos métodos clássico de expansão em séries de Fourier de movimentos periódicos. Uma coordenada $q$ seria expandida em termos oscilatórios. Se o sistema fosse um oscilador não linear (ou anarmônico) puramente clássico, os termos poderiam ser somados, obtendo-se um movimento periódico para o sistema com energia $E^{(1)}$, com coeficientes $q_k^{(1)}$ reais:

\begin{displaymath}\begin{array}{l}
q(t) = q_0^{(1)} + q_1^{(1)} e^{-i\omega^{(...
...} + \dots + q_{-n}^{*(1)} e^{+n i\omega^{(1)} t}
\end{array} \end{displaymath}

Podemos notar que cada termo da série é somado ao seu complexo conjugado de modo a que a soma da série seja real. No formalismo de Heisenberg, embora os elementos não possam ser somados, guardam essa relação dentro do ``Arranjo de Heisenberg'' (Heisenberg Array, na literatura anglo-saxônica), agrupados em um arranjo bidimensional como mostrado abaixo:

\begin{displaymath}q(t) = \left(
\begin{array}{ccccc}
q_0^{(1)} & q_{-1}^{(1)}...
...t} & \dots & \dots & \dots & q_{0}^{(n)}
\end{array}
\right) \end{displaymath}

Até esse ponto, o sistema é inteiramente clássico, exceto pela quantização da energia em níveis. No entanto, em um oscilador anarmônico quântico, as freqüências presentes não são múltiplas da freqüência fundamental, e devem ser substituídas pelas freqüências efetivamente observadas experimentalmente, $\omega^{(jk)}$:

\begin{displaymath}q(t) = \left(
\begin{array}{ccccc}
q^{(1,1)} & q^{(1,2)} e^...
...)}t} & \dots & \dots & \dots & q^{(n,n)}
\end{array}
\right) \end{displaymath}

Essa matriz é hermiteana, ou seja, $q(n,k)=q^*(k,n)$, como ocorreria em uma expansão em série de Fourier complexa de uma função de uma variável real, como a coordenada (note também que $\omega^{(n,m)}=-\omega^{(m,n)}$, consistente com a hermiticidade da matriz). Outra condição, esta de origem puramente quântica: como conseqüência das regras de Rydberg-Ritz, as freqüências presentes não são completamente independentes, mas podem sempre ser expressas como somas e diferenças umas das outras, ou seja,

\begin{displaymath}\nu(n,k) + \nu(k,m) = \nu(n,m) \end{displaymath}

Uma conseqüência disso é que os ``Arranjos de Heisenberg'' obedecem à mesma álgebra das matrizes, quanto à soma, subtração e multiplicação. Assim, essas novas variáveis representando coordenadas ou grandezas físicas dela derivadas são matrizes, e podem ser operadas matematicamente como tais. Neste formalismo, as matrizes passam, portanto, a substituir as variáveis observáveis. A descrição do movimento de uma partícula não mais pode ser descrito por uma trajetória. No antigo modelo astronômico de Ptolomeu, o movimento de um corpo celeste era ``expandido'' em uma coleção de movimentos circulares de raios e velocidades angulares diversos. O movimento observado era a soma, resultante da composição desses movimentos. Isto é análogo, na representação matricial do movimento, se se considera cada termo da matriz de Heisenberg como um movimento rotatório no plano complexo, com um dado raio e uma velocidade angular, como nos epiciclos e deferentes. No entanto, no âmbito da mecânica matricial, já não podemos somar os elementos de matriz tal qual seria feito na série de Fourier do oscilador anarmônico, ou, de forma mais rudimentar, no modelo de Ptolomeu. A descrição matricial do movimento necessita manter a independência de seus elementos, para preservar a caracterização completa do estado do sistema.


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