FAP151 - FUNDAMENTOS DE MECÂNICA


Texto complementar no 1 - Gráficos


1. Introdução.


No estudo de um fenômeno físico são realizadas experiências onde são medidas diversas grandezas ao mesmo tempo. A relação entre essas grandezas pode ser expressa por meio de fórmulas matemáticas, tabelas ou gráficos. Muitas vezes também o significado de uma lei da natureza ou de uma equação fica mais claro se a representamos num gráfico. Neste texto revisamos algumas idéias básicas necessárias à construção e interpretação de gráficos, particularmente quando a função é linear.
Representamos os gráficos no plano por um sistema de eixos cartesianos ortogonais. Para cada eixo adota-se uma escala, sendo que as duas escalas podem ser diferentes.
Na construção de um gráfico, a primeira tarefa importante que temos que realizar é uma escolha conveniente da escala. Se a escala não for conveniente, parte do gráfico pode ficar fora do papel, ou então ficará tão pequeno que não poderemos observar seus detalhes. O procedimento descrito a seguir permite escolher bem a escala.

a) Determine o tamanho do papel e identifique os valores máximos e mínimos das grandezas que serão representadas nos eixos x e y e, a partir dessas dimensões, calcule a escala que permita ocupar o espaço disponível.

b) A divisão da escala deve ser definida de modo a permitir a fácil localização e marcação de pontos, bem como uma posterior leitura de valores a partir do gráfico. Isso se consegue usando divisões na escala que sejam múltiplos ou submúltiplos de 10, ou seja: ...; 0,1; 1; 10; ...; 0,2; 2; 20; ...; 0,5; 5; 50; ...

Agora observe os gráficos abaixo e responda rápido: eles representam a mesma função ou funções diferentes?

Para construir um gráfico de uma função organizamos uma tabela com valores convenientes de x e os correspondentes valores de y. A seguir localizamos no plano (supondo um sistema de eixos cartesianos) cada par (x,y). O gráfico da função é obtido ligando-se esses pontos de modo a respeitar o seu comportamento.

Construa uma tabela com pares de valores x e y para os dois gráficos acima. Responda novamente: eles representam a mesma função?

2. Quando o gráfico é uma reta.

Uma reta é descrita pela função de primeiro grau (primeiro grau porque a variável x aparece elevada à potência 1):


onde a e b são constantes reais. Dizemos que y depende linearmente de x ou que a relação entre y e x é linear.

                                                     
                                                     
                                                     
                                                     
                                                     
                                                     
                                                     
                                                     
                                                     
                                                     
                                                     
                                                     
                                                     
                                                     
                                                     
                                                     
                                                     
                                                     
                                                     
                                                     
                                                     
                                                     
                                                     
                                                     
                                                     
                                                     
                                                     
                                                     
                                                     
                                                     

Exercício. No quadriculado da página anterior, faça os gráficos das 4 funções indicadas abaixo, para x variando de - 3 até +3. Escolha a mesma escala para representar todos os gráficos. Escolha com cuidado a escala no eixo y de forma a ter a melhor ocupação do espaço, mas de forma que todos os gráficos caibam no papel, no intervalo indicado. Use uma cor diferente para cada gráfico.
(i) y = 2x + 2
(ii) y = 3x + 2
(iii) y = 2x - 1
(iv) y = -2x + 2

Para cada função dos itens (i), (ii), (iii) e (iv) determine os valores dos coeficientes a e b.
O que há em comum entre as retas (i) e (ii)? E entre as retas (i) e (iii)? O que distingue a reta do item (iv) das demais?


3. Interpretação dos coeficientes a e b em y = ax + b , quando x e y têm mesma dimensão.

O número real a é denominado coeficiente angular e está associado à inclinação da reta em relação ao eixo Ox.
No caso (i), o coeficiente angular é igual a 2; no caso (ii) é igual a 3. Note que a reta descrita pela função do item (ii) é "mais inclinada" que a do item (i). Se a for negativo (a < 0), como no item (iv), a grandeza y decresce à medida que x cresce e a reta forma um ângulo maior que 90o com o eixo x.

Podemos relacionar o coeficiente angular com o ângulo entre a reta e o eixo Ox. Para relembrar porque, considere o triângulo retângulo abaixo. Os dois lados que formam o ângulo reto são chamados catetos. O lado q é o cateto oposto ao ângulo a e o lado r é o cateto adjacente ao ângulo a. No triângulo retângulo define-se tangente de a (abreviadamente tan a) como a razão entre o cateto oposto a a e o cateto adjacente:

Assim, vemos que a constante a é igual à tangente do ângulo que a reta forma com o eixo Ox.

Podemos definir as funções trigonométricas, como seno, coseno e tangente, para qualquer ângulo. A tangente de um ângulo 90º < q < 180º tem sinal negativo e é igual em módulo à tan (180º -q). Com esta definição, o coeficiente a pode ser interpretado como a tangente do ângulo que a reta y = ax + b faz com o eixo x. Se a for negativo, o ângulo que a reta forma com o eixo x é obtuso e y diminui se x aumenta. A figura ao lado mostra duas retas com coeficientes angulares de mesmo módulo e sinais contrários. Chamando de a o coeficiente angular da reta que forma ângulo q com o eixo Ox, temos a > 0 e a reta que forma ângulo b=180º - q tem coeficiente angular -a .

O número real b corresponde ao valor de y quando x = 0, ou seja, indica em que ponto a reta vai "cortar" o eixo y. Note que a reta descrita pela função do item (i) cruza o eixo Oy em y = 2 e a reta do item (iii) cruza o eixo y em y = -1 . Como o coeficiente angular das duas retas é o mesmo (a = 2), elas têm a mesma inclinação, ou seja, são paralelas.


4. Interpretação dos coeficientes a e b em y = ax + b , quando x e y não têm mesma dimensão.


Em física, a maioria das grandezas envolvidas nas equações tem dimensão, isto é, são expressas em relação a uma unidade de medida. Isso faz com que a inclinação do gráfico que expressa um fenômeno físico tenha uma unidade e não possa ser interpretada como tangente de um ângulo, na maior parte dos casos.
Entretanto, sempre podemos definir a inclinação da reta a partir de um par qualquer de pontos (x1, y1) e (x2, y2), pela expressão

inclinação .
Assim, o coeficiente a é uma grandeza com dimensão física quando as grandezas x e y não têm a mesma dimensão física. Por exemplo, se y mede posição em m e x mede tempo em s, a inclinação tem a dimensão de m/s.
É importante, ainda, ter atenção para o fato de que, apesar da reta que representa o gráfico y(x) formar um ângulo com o eixo Ox que pode ser medido, por exemplo, com um transferidor, não podemos dizer que o coeficiente a seja a tangente desse ângulo. Isso ocorre porque este ângulo depende da maneira como você escolhe as escalas. Por isso, para calcular a é necessário usar a expressão para a inclinação dada acima, embora seja comum chamá-lo de coeficiente angular.
Em relação ao coeficiente b, a interpretação é a mesma da situação anterior, exceto pelo fato dele possuir também uma dimensão física na maior parte dos casos.


5. Variação Proporcional vs. Proporção

Estamos muito habituados a "fazer regra de três" em situações do cotidiano. Calculamos muito rapidamente que, se a dúzia de bananas custa R$2,40, uma dúzia e meia custará R$3,60. Dizemos que o preço da penca é proporcional ao número de bananas. Existem muitas outras situações onde há proporcionalidade entre grandezas, por exemplo, um mol de moléculas contém 6x1023 moléculas.

Questão 1. Chamando de M o número de moles e de N o número de moléculas, escreva uma relação matemática entre o número de moles e moléculas numa substância.

Uma grandeza física que é uma proporção entre duas outras grandezas é a densidade dos corpos homogêneos - a densidade é a razão entre a massa e o volume do corpo. Dizer que o corpo é homogêneo significa dizer que as propriedades de qualquer fragmento são as mesmas do corpo todo.

Para fixar idéias nesta discussão, imagine uma usina de Alumínio. A densidade do Al é 2,7 g/cm3 = 2,7x103 kg/m3 . A fábrica produz, a partir de um grande corpo de Alumínio que podemos considerar puro nesta discussão, perfis, panelas e papel de Alumínio. Dizer que o grande corpo de Al é homogêneo, em relação à densidade, significa dizer que a proporção entre massa e volume é a mesma para qualquer pedaço desse corpo. Assim, tanto para um pedaço de papel de Alumínio quanto para um caco da panela ou um fragmento de um trilho de cortina, a razão entre massa e volume é r=2,7x103 kg/m3. Podemos, portanto, sempre deduzir o volume V de um objeto de Al como V=m/r. Quando o objeto tem Volume conhecido, podemos deduzir sua massa m como m=rV.

O gráfico da figura ao lado representa essa propriedade do Alumínio metálico puro nas condições ambientes normais.
Note a propriedade, absolutamente importante, do gráfico da massa de Alumínio em função do volume passar pela origem do sistema de coordenadas, identificada pelo ponto O.
Quando lidamos com a velocidade de um objeto, tendemos a pensar que ela representa uma proporção. Afinal, dizer que um automóvel está correndo a 10 m/s significa que ele corre 10 m em 1 s. No entanto, a velocidade não é uma proporção entre a posição e o tempo. Veja, na figuras abaixo, diferentes possíveis gráficos da posição em função do tempo de um automóvel com velocidade v=10m/s.
Caso você, equivocadamente, imaginasse a velocidade como uma proporção entre posição e tempo, deduziria que a posição do automóvel em t=6,0s é x=60m. Vemos no gráfico acima que, exceto na situação descrita pela linha tracejada, a posição do automóvel em t=6,0s NÃO é x=60m.
Se a velocidade não é uma proporção, o que ela é? Resposta: é uma variação proporcional. Ela representa o deslocamento ¾ uma variação de posição ¾ num intervalo de tempo. Assim, a velocidade não é a proporção entre a posição e o tempo, mas sim a proporção entre variação de posição e "variação" de tempo. Quando um corpo mecânico desloca-se à velocidade constante, sua variação de posição é proporcional ao intervalo de tempo considerado, portanto, é uma variação proporcional.
Questão 2: Qual a propriedade da curva tracejada do gráfico acima que faz com que a velocidade possa ser confundida com uma proporção simples?

Nas situações mais simples onde há apenas um objeto em movimento uniforme, você pode escolher a origem do sistema de coordenadas de maneira que em t=0s ele esteja na origem. No entanto, isso não pode ser feito em geral, de maneira que NUNCA devemos pensar na velocidade como uma proporção entre posição e tempo, mesmo que isso dê certo em alguma situação muito particular.
Uma variação proporcional pode, com freqüência, ser expressa por números negativos, o que raramente faz sentido com proporções. Nas figuras abaixo mostramos alguns possíveis gráficos de posição em função do tempo para um objeto à velocidade de -5 m/s. A diferença entre as duas figuras é devida apenas ao intervalo de tempo considerado em cada um dos movimentos.

 

Questão 3. Descreva uma situação física de Movimento Uniforme onde você defina tempos negativos. Veja que basta escolher uma origem para a coordenada tempo posterior ao instante em que você começa a descrever a situação.

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FAP151- Fundamentos de Mecânica para Licenciatura
Prof.Vito Vanin - 1o semestre 2003